Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
зрения уравнения калибровочного поля представляют собой ограничения на
ковариантные производные тензора кривизны. По ним можно определить
алгебру Ли группы голономии, если известна пространственно-временная
симметрия решений. Иначе говоря, если мы ищем решения уравнений
Янга-Миллса, обладающие заданной симметрией в К4, то мы ограничиваем
калибровочную группу.
Например, для калибровочных полей с точечными источниками
справедливы следующие теоремы [6, 44]: 1) сферически- симметричные
аналитические решения для калибровочного поля точечного заряда имеют
абелевы группы голономии; 2) для калибровочного поля с абелевой группой
голономии уравнения Янга-Миллса и тождества Бианки редуцируются к
уравнениям Максвелла. Поэтому все сферически-симметричные решения
уравнений Янга-Миллса с точечным источником кулоновоподобны, вернее,
могут быть выбором калибровки приведены к кулоновой форме. В частных
случаях калибровочной симметрии О (3) и SU (3) это было показано Икедой
и Миячи и Лосом [см. (2.26),
(2.30) ]. Эти кулоновоподобные решения соответствуют дально-
действующим силам, подобно электромагнитным и гравитационным полям.
Для того чтобы получить калибровочное поле неэлектромагнитного типа,
нужно найти решение с неабелевой группой голономии [6].
Рассмотрим пример такого решения с неполупростой группой
голономии. Как вектор-потенциалы, так и компоненты тензора
напряженности будем записывать в операторной форме T.F^v, не
конкретизируя вид матриц, по которым должно вестись разложение.
Уравнения Янга-Миллса в операторной форме имеют вид
VvF^v = JK (12.2)
Пусть t, г, 0, ф - сферические координаты в пространстве-времени У4)
которое для простоты считается плоским (пространство Мин-
119
ковского). Будем искать решения этих уравнений для точечного заряда, не
являющиеся сферически-симметричными, в виде
Г* = [/ (0)Ш; Гг = 0; Гв = 0; Гф = h (0)В, (12.3)
где / и h - вещественные функции, зависящие только от 0; А и В -
постоянные матрицы.
Плотность тока отлична от нуля только на мировой линии заряда ху = хг
= х3 = 0. Тогда
Fir = (///*) A; F,0=-(/"A;j
F<q, = (/A/r)[AB]; F<p, = 0; (12.4)
Fv0=-A'B; F,6 = 0. J
Для плотности тока получим
Jt = (г3)-1 (/" А + /' A cos 0 - (//i2/sin2 0) [В [АВ]]>. |
Jr = 0; Je = 0; j (12.5)
Jf = -(r* sin20)_1(/r" В-h' В cos 0)-fh [A [AB]].j
Уравнения (12.5) представляют собой систему нелинейных уравнений в
частных производных для функций / (0) и h (0). Потребуем, чтобы функции
/, /', fh/sin 0, /Т/sin 0; были ограничены в интервале
0 < 0 < я. (12.6)
Такие решения назовем регулярными. Тривиальные решения / (0) = = 0, h
(0) = 0 отбросим.
Для точечного заряда уравнения (12.5) приводят к соотношениям
[В [АВ]] = аА; [[АВ]А] = рв, (12.7)
где аир - вещественные числа. Уравнения (12.7) показывают, что группа
голономии порождается операторами А, В и [АВ] (производная подгруппа).
Введем новую переменную z = cos 0. Тогда уравнения (12.5) примут вид
/" - 2z/7 (1 - 22) - а/й2/ (1 - z2)2 = 0; (12.8)
h" + Р/2й/ (1 - z2) = 0, (12.9)
где штрих означает дифференцирование по г, а условия регулярности
решений переходят в следующие:
/, /' (1 -z2)'/2, fh (1 -z2)~1/2 и h ограничены на -1 < |z| < 1.
(12.10)
Операторы А и В можно нормировать так, чтобы | а | и | р | равнялись
единице (если они не исчезают). Тогда представляются три возможности:
1) а = 0; |Р| = 1; 2) [а| = |Р| = 1; 3) |а| ¦ = 1;
,Р1 = о.
120
Пусть а = 0; |Р| = 1. Единственное регулярное решение
(12.8) : / (2) = const. При р = -1 (12.9) имеет регулярное решение,
отличное от нуля только в том случае, если f = 0. Это решение h = h0 + hjZ,
где/г0 и/гх постоянны. При р = 1 (12.9) имеет регулярное решение только в
том случае, если
f2 = т (т + 1); т > 0 и целое. (12.11)
Это решение имеет вид
где Рт (г) - полиномы Лежандра степени т.
Из (12.7) следует, что при а = 0, р = 1 В и [АВ] порождают абелеву
инвариантную подгруппу Ж. При этом можно показать, что SpB* = 0 для
любого положительного целого k, откуда следует, что В - нильпотентная
матрица. Следовательно, ехр (соВ) - полином, так что Ж некомпактна. В
соответствии с (12.7) имеем
где Lx, L2 и L3 - генераторы Ж, удовлетворяющие коммутационным
соотношениям:
Здесь алгебра Ли рассматривается над полем вещественных чисел. Поэтому
а2, as, b2, b 3 вещественны.
Если слой представляет собой 2-мерное комплексное линейное векторное
пространство, всегда можно выбрать базис в нем так, чтобы
где у - комплексное число. Представление (12.15) имеет инвариантное
подпространство, но из-за некомпактности Ж оно не вполне приводимо.
Неприводимых 2-мерных представлений алгебры Ли Ж не существует.
Анализ других случаев (|а| = |р| =1; |а| = 1; |Р[ = 0 и |а| = - |Р( = 0)
показывает, что максимально общее решение для калибровочного поля
точечного заряда дается формулами (12.11),
(12.12) . Это решение не сферически-симметрично. Соответствующая ему
группа голономии не полупроста и не компактна. Исследование
