Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
- гпв{г0) 2 jefs; - i<7 J (jA) d3x-1/2 J (rot Afdzx, (26.29)
соответствующему системе заряженных частиц в электромагнит-
ном поле. Заметим, что действие (26.29) калибровочно-инвариантно
в отличие от исходного действия (26.1).
Квантовые вихри существуют как самостоятельные частицы.
Очевидный закон сохранения разности числа вихрей, вращающихся
в положительном и отрицательном направлениях, служит анало-
гом закона сохранения разности числа частиц и античастиц.
Масса одиночного вихря, строго говоря, бесконечна за счет энер-
гии ф-поля, окружающего вихрь. Можно говорить только о конеч-
ной массе (энергии) внутри конечного объема. Например, масса
(энергия) тв{г) внутри круга радиусом г с центром, совпадающим с
центром вихря, дается формулой (26.19) с заменой г0 -> г.
Модель Голдстоуна с квантовыми вихрями можно назвать про-
стейшей моделью сильных + электромагнитных взаимодействий в
(2 + 1)-мерном пространстве - времени. Квантовые вихри здесь
играют роль протонов, я-частицы - роль я-мезонов, ф-частицы -
роль фотонов. Поводом для такой аналогии служат свойства частиц
и соответствующих им полей. Действительно, взаимодействие между
квантовыми вихрями на больших расстояниях переносится ф-по-
лем, а на малых - также и я-полем, аналогично тому как взаимо-
действие между протонами на больших расстояниях переносится
фотонами, а на малых - также и я-мезонами. Кроме того, распад
массивной я-частицы на две безмассовые ф-частицы можно считать
аналогом распада я-мезона на два у-кванта. Наконец, для кванто-
вых вихрей сохраняется разность числа "частиц" и "античастиц".
Эта разность имеет смысл электрического заряда, совпадающего в
этой модели с барионным.
Рассмотрим теперь возможность существования вихреподобных
возбуждений в некоторых моделях теории поля в четырехмерном
пространстве - времени. Обобщением модели Голдстоуна здесь
служит модель с тремя вещественными скалярными полями и функ-
ционалом действия вида
2 0?фй)2 - я 2 Ф* + (g/2) (2 Фа2У 1, (2б.зо)
а а \ a J
который записан здесь? в евклидовых переменных. Условие 6S =0
есть уравнение
~ Д4Фа - ^Фа+ g (2фа)фа = 0. (26.31)
S = - 1/2 Г d* х
Это уравнение имеет постоянное решение фа = const с условием 2ф2 = ^, (26.32)
233
а также решение, описывающее вихреподобное возбуждение, не зависящее
от "временной" координаты хь вида
Ф" = (xjr) f {г), (26.33)
где г = {х\ + х\ + 4)1/2 - расстояние от выделенного начала координат в
трехмерном пространстве. Уравнение (26.31) сводится к уравнению второго
порядка для функции / вида
/" + 2 /7г - 2 //г2 + Я/ - gf = 0. (26.34)
Нас интересует решение этого уравнения, ведущее себя пропорционально г
при т ->- 0 и стремящееся к константе (Я/g)1/2 при -> оо. Можно показать,
что такое решение этого уравнения действительно существует. Однако
функционал
V" j [2(7фа)3-Я2<Й+ (?/2)(2ФЗ
г<т о
dx, (26.35)
дающий энергию возбуждения в объеме г < г0, пропорционален г0 в пределе
г0->оо. Таким образом, вихреподобное возбуждение имеет бесконечную
энергию и не может быть интерпретировано как новая частица.
Более сложные вихреподобные решения существуют в моделях с полями
Янга - Миллса. Например, для системы с действием
-Va f [2 (^Фа+ееаЬс^фс)2 - Я^фа + (g/2) (2 ф2)*] ^х~~
Lа, а \ a j
-Vajs [д"Ъ$-дчЬ1+ ееаЬс^^)2#х (26.36)
а, |х
можно искать решение вида
фа (х) = хаи (r)r~l; bf (х) = eiabxb [а (г) - (ег2)-1]; (26.37)
Ьай (х) = 0.
Такое решение независимо предложено и исследовано Тофтом [53] и А. М.
Поляковым [54]. Было показано, что оно имеет конечный функционал
энергии и, таким образом, может быть сопоставлено новой частице.
Плотность энергии убывает ~ г-4 при г-> оо, как и плотность энергии
точечного заряда. Однако в этом случае энергия есть аналог энергии
магнитного поля, а потому и само решение названо магнитным монополем.
Заметим еще, что изотопический вектор фа (х), согласно (26.37), стремится к
различным пределам при r-у оо в зависимости от направления вектора г
(имеет структуру "ежа").
Поиски других, более реалистических моделей теории поля с
вихреподобными решениями являются в настоящее время весьма актуальной
задачей. Не исключено, что именно на этом пути лежит ключ к построению
последовательной теории сильных взаимодействий [55-64].
224
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. М.,
Гостехиздат, 1957.
2. Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. М.,
"Наука", 1969.
3. Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля. Пер. с англ. М.,
Изд-во иностр. лит., 1963.
4-. Feynman R. Р. - Acta Phys. Polon., 1963, v. 24, N 6, p. 697.
5. Witt B. S., de. - Phys. Rev., 1967, v. 160, N 5, p. 1113; v. 162, N 5, p. 1195, 1239.
6. Faddeev L. D., Popov V. N. - Phys. Lett", 1967, v. 25B, p. 30.
7. Попов В. H., Фаддеев Л.Д. Теория возмущений для калибровочно
инвариантных полей. Препринт Ин-та теор. физ. АН СССР. Киев, 1967.
8. Фаддеев JI. Д. Гамильтонова форма теории тяготения. Тезисы 5-й Между-
