Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Физические условия, в которых может осуществляться распределение Вина, можно представить себе следующим образом. * Пусть вещество мгновенно приведено в состояние е очень высокой температурой, так что все атомы полностью ионизованы, а излучение не успело образоваться. Тогда поглощение и испускание квантов будет происходить за счет "свободно-свободного" механизма. Соответствующий процесс испускания есть не что иное, как радиационное торможение электронов. Этот процесс тем вероятнее, чем меньше частота испускаемого кванта. То же самое относится и к вероятности обратного процесса, "свобод^ но-свободного" поглощения, поэтому при достаточно малых частотах тепловое равновесие будет устанавливаться путем поглощения и испускания квантов. При больших частотах вероятность комптоновского рассеяния превосходит вероятность поглощения. Так как кванты рассеиваются на движущихся электронах, их частота при рассеянии может и возрастать. Вначале число квантов еще невелико: все они будут стремиться к тепловому равновесию независимо друг от друга (т. е. вынужденные процессы не будут составлять заметной части всех процессов рассеяния). Между такими квантами установится распределение Вина со средней энергией 3kT,
Благодаря этому переход энергии от вещества к излучению будет гораздо более быстрым, чем если бы он происходил только за счет радиационного торможения электронов. Тормозные ¦кванты, имеющие частоты ш больше некоторой определенной частоты сбудут быстро и необратимо увеличивать свою знер-
24
гию комптоновским механизмом, стремясь дойти до виновской энергии 3kT.
В дальнейших разделах будет найдена функция расгшеделе-ния квантов, претерпевающих комптоновский процесс. В Приложении мы рассмотрим, какую энергию отбирают от электронов кванты в теле ограниченных размеров.
2. Кинетическое уравнение
{дп
\ dt
С
Напишем кинетическое уравнение для функции распределения квантов п в неограниченной среде при учете одного только рассеяния. Для общности сначала не будем пренебрегать вынужденными процессами. Уравнение имеет следующий вид:
- I*dt j*E^(l +я') ЛГ(е)-я'(1 + п)ДГ(е-[-Л<о-Н<й')\(Ш.
(1)
Здесь N-функция распределения свободных электронов, dx- элемент фазового объема электронов, dW - дифференциальная вероятность перехода из данного состояния в другое, совмести-мая с законами сохранения энергии и импульса. Индекс С при dnjdt напоминает о том, что в равенстве учтены только компто-новские процессы. Статистическое равновесие между электронами в плазме устанавливается весьма быстро независимо от излучения, поэтому функцию распределения ЛГ(е) следует считать максвелловской. Тогда, если подставить вместо п в (1) распределение Планка п= (екл/кт- I)'1, то правая и левая части обратятся в нуль, как и должно быть.
Будем считать, что энергии электронов нерелятиви^текие, иначе говоря, допустим, что имеет место неравенство kT<^iric\ Тогда энергия, передаваемая в каждом отдельном акте, мала по сравнению-с энергией кванта Асо : о/-w =
Пользуясь этим неравенством, разложим подынтегральное выражение (1) в ряд по степеням А до второй степени включительно. Положим h<^jkT=x\
дп
1н
дп
дх
fi (1 -4- л)
±jdxjdWN(z)A- Ь
т 2 (1 +п)~ +"(1 +")
dxj dWN (в) Д*.
(2)
Второй интеграл в правой части равенства (2) гораздо легче вычислить, чем первый. Но достаточно вычислить только один из двух интегралов, другой определится из того условия, что уравнение должно обеспечивать сохранение полного числа квантов при рассеянии.
25
Законы сохранения импульса и энергии в нерелятивистском приближении пишутся следующим образом:
(Лсо/с) n + р = (h&'/c) п'+р',
(3)
Асо + рг/2т - А(c)' + рп!2т.
Здесь /?72т = е, р и р'- импульсы электрона до и после столкновения, п и п' - направления распространения кванта. Исключая р' из этих уравнений, получаем уравнение, определяющее (о' как функцию а>, р и углов рассеяния. В этом уравнении следует положить к> = <*>'+Д и ограничиться членами, линейными относительно А, по крайней мере, пока определяется интеграл, содержащий А2. После простых преобразований получается
/I Д = _ Нш п - п')^г (to)2 (1 - nn.f)
тс* [1 4* (hca/mc2) (1 + лп') - рп/тс]
Скобку в знаменателе (4) в интересующем нас случае законно заменить единицей. В числителе первый член имеет порядок величины (kT/mcz)*i29 а второй член - порядок {kT/mc*)2. Но мы будем определять интеграл от А2, поэтому вклад первого члена при усреднении по углам не обратится в нуль. Следовательно, при подстановке в (2) надо будет вычислить следующий интеграл:
/ = (Лю/тс)8 | dx J dW (p, n -n')W (e). (5)
После усреднения по всем направлениям р получим
I = V, {Iwlmof J p*N (е) dx j | n-n' |2 dW. (6)
Первый интеграл равен 2m^j2 fer=3mff. Во втором интеграле следует заменить комптоновское сечение в нерелятивистском приближении на томсоновское, которое симметрично относительно рассеяния на углы 0 и л-0, так что Jrm'dlP=0. Томсоновское сечение не зависит от энергии кванта, следовательно,
/ = (A(c))* (kT/шс2) с/1, (7)
где / - комптоновский пробег, определяемый полным селением (8я/3) (ег/тс2)2.
