Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
2= In ху у1=е~г/2^(г) (40)
Функция /м(г) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению такого же вида, как уравнение Шредингеюа для колебательных уровней двухатомной молекулы, если потенциальная функция ядер взята в форме, предложенной Морзе:
-d*fjdz> + (41)
Уравнение (41) интегрируется при помощи вырожденных ги-пергеометрических функций, которые мы выразим через переменную х:
% = Cx-'W^(x) (42)
[3, гл. 16]. Здесь №^ц(л:) есть функция Уиттекера, которая представляет собой комбинацию двух обычных вырожденных гипер-
32
геометрических функций;
w*." w = ftI/1-,(х)+?--Гз(:'^-, л*,,.* w. (43)
Г (- 3/а - гИ-) Г(-3/г + (ц)
Здесь М2Л,{х) определяется известным рядом
м, * (X) = xv.+-ve-/3 Л +Ь!/*±М? + <-v. + w-y.+>)*M
'д w I 11 (2|> +1) ^ 21 (2"> +1) (Ш|1 + 2) ;
(44)
Функция W убывает на бесконечности как е"я, тогда как М этим свойством не обладает. Поэтому х и выражено через
Найдем теперь функции дискретного спектра, аналогичные колебательным состояниям двухатомной молекулы (функции непрерывного спектра отвечают диссоциированной молекуле). Дискретный спектр возможен при отрицательных ^i2 [см. (41)] или при чисто мнимых ц. Соответствующие собственные функции должны обладать интегрируемым квадратом. Согласно формулам (42) - (44) функция W при малых х и чисто мнимых j1 состоит из двух слагаемых вида x~'hW. IIo при верхнем знаке квадрат функции не интегрируем. Следовательно, собственными значениями являются такие числа, при которых W состоит только из функции с интегрируемым квадратом. Эти чис~ ла суть ||х|=7а и |ц}=72> так как обращают в нуль первое слагаемое формулы (43) (Г(-2) =оо, Г(--3) - о(c)).
Ряды для функций М,л/2(х) и М2,з/з(*) обрываются. Так получаются элементарные функции, которые мы пишем сразу с нормировочными коэффициентами
?/,(*)=./2(1-*/2)0^. X./l = 2'V.jee-*/". (45)
Функции непрерывного спектра нормируются путем перехода к своему асимптотическому разложению совершенно аналогично тому, как это делается в задаче об атоме водорода. Разложения относятся не к большим, а к малым х, потому что при больших х функция W экспоненциально убывает. Из уравнения (41) видно, что при --оо, т. е. при малых х, функция пропорциональна cos (yiz+X). Нормировочный множитель косинуса есть У2/л. Выражая W через cos (|xz+p)=cos (р ln*-fA), получаем нормированные функции непрерывного спектра
-^-----. (46)
1 г (-3/* + ">)
У^2п Г (2*"
Теперь легко написать общую формулу для х (х в правой части равенства задает начальную частоту кванта, ранее на* званную л,):
л' = е*Л
СО
1
2 А, с. Компанеец.
33
где С*/* и t8/a ~ коэффициенты разложения функции х2е~х'2 [см. (38)] по ортогональной системе функций ?1/2 и ?3/2 находятся элементарно. Для определения ^ воспользуемся интегральным представлением функции W2lxy\x) [3, с. 148]:
, i<X>
Wt m (.у) = хЧ - Г Г (- g - Цг - "/,) Г <- а + ^ - "/,) д" ^
2я1 J Г (- t|x - */i) Г <fji - s/3)
-iOO
Отсюда при помощи (46) находим
х
1 Г (-3/j + ф)
/2я Г (2t>)
iOO
XJ_ Г Г (р) Г (a -j- 4) Г (- а - ш -"/,) Г(-о + t>_"/,)^ 2ш* J Г ( ф - Ve) Г Vз)
-/со
Г (J Va ~Ь f Ц) Г (2г'|х)
г (5/3 + ДО г (% -(>),
где комплексный интеграл взят по формуле Бернса [3, с. 74]. Подставляя это в (47), пользуясь формулой Г(а)Г(1-") - =ncscjiw и тем,_что W2.in{x) есть четкая функция от ц, получаем выражение х в виде комплексного интеграла:
г со
х - - е-х1ге-*у1* j* et'vWi'., (х) tg res • s ds - 2 ---е'ад -f- 3.
-too
(48)
Отсюда видно, что в результате комптоновского процесса сред-няя частота любого кванта стремится к 3kT/h независимо от его начальной частоты. Применение формулы (48) будет дано в приложении.
В заключение выражаю искреннюю признательность Я. Б. Зельдовичу, поставившему настоящую задачу и проявлявшему к ней постоянный интерес, а также Л. Д. Ландау и И. М. Гельфанду, сделавшим ряд важных указаний. Многие результаты раздела 3 были получены при участии ныне покойного С. П. Дьякова.
ПРИЛОЖЕНИЕ
КОМПТОНОВСКИЙ ПРОЦЕСС В ТЕЛЕ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ
Можно вычислить среднюю частоту, которую приобретает вследствие комптоновского процесса квант в теле конечных размеров. Так как томсоновское сечение не зависит от энергии, коэффициент диффузии кванта постоянен. При этом вероятность
вылета кванта в момент времени у зависит от времени экспоненциально, если только начальное распределение отвечает ка-кой-нибудь из собственных функций диффузионной задачи. Естественно принять распределение, отвечающее основному собственному значению, так как только она из всех функций знакопостоянна. В безразмерных единицах вероятность зылета кванта из системы записывается так:
dw(y) =#e-*vdy. (I)
Средняя частота вылетающего кванта при этом_уже меньше
3kT/h. Она определяется, если помножить (I) на х и проинтегрировать по у:
. {'со
х = f*dw(#) = -^-f tgnsWVs(A-)-----------------------2P(l/*-Vi), + 3
J ,) w v4 + p-s2 p + 2
-Zoo
(H)
Энергия, отбираемая квантами от электронов в этих условиях, равна интегралу по (II), взятому по тормозному спектру. Введем обозначение
00
H(X0,s)= j МгМ*)К0 (-§-)?• (III)
