Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
обозначая через я направление внешней нормали к контуру Г, получим:
II
+ T/V
dv.
dlVr-fc-j (
dv.
dv у дх
д\ v
dvy
’~ду
дх
дх
1 ду dx ду
/ {v* [жcos + + 4f C0S {П' +
}ds==f[v*i7 +
dx dv
dv,, dVy
COS (я, x) -fiy cos (n, y)
dv,
Vy Wlds.
Далее, вследствие уравнений (24.1) и вследствие той же формулы Гаусса,
имеем:
f f (vx Avx -+• Vy Avy) dxdy = ~j f (vx 4- vy dx dy =
1 С ГГ дР , дР , (dv* i ‘HY
= ” J J [v* 17+blj + P Ы + -37}
4
dx dy =
Итак:
- f \pvx cos (я, x) ~f pVy cos (n, у)! ds = f pvn ds.
’ г f
Г / dvx dv,, 1 \
7 =./ К ~d7 + ~ln - 7 Pvn)ds- <24 A)
,j 24] ПАРАДОКС СТОКСА 513
Обратимся теперь к уравнениям (24.1). Вследствие последнего из этих
уравнений мы можем написать, что
d'V dV
v — — v —---------------
х ду У дх ’
где есть функция тока. Тогда предыдущие два уравнения принимают вид:
др ф A'F др ф ДЧГ
дх ду ’ ду дх
и показывают, что p-J-ipAW есть аналитическая функция от z=x~{-iy.
Заметим при этом, что AW совпадает, с точностью до знака, с выражением
вихря скорости, ибо
Л dvv dvx
— Д1*
дх ду
и есть, следовательно, так же как и р, однозначная функция от х и у.
Итак, функция
<Р (z) = р + Д'Г
есть однозначная аналитическая функция вне контура С. Производная от этой
функции имеет выражение
Поэтому, на основании уравнений (24.1), можем написать:
<?'(z) = ^(vx — ivy). (24.5)
Пусть теперь z — x — iy означает число, комплексно сопряжённое с z = х -
f- iy, тогда
z -4- z z — г
X--------- ,
Возьмём в какой-нибудь функции А(х, у) вместо х и у за независимые
переменные z и z, т. е. положим
А(Х, у) = Л(?+1. =
тогда простое вычисление показывает, что да_ _ _1_ Ф1 ,_}_<??
dz 2 дх ' 2i ду ’
да J_?ji_______ 1
дг 2 дх 2i ду *
д2а __ 1 WA ,д>Л\ 1 ЛЛ
дг дг 4 \Ф2 ду2) 4
3-3 Теоретическая гидромеханика, ч. II
514
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. II
Поэтому уравнение (24.5) может быть переписано в виде
после чего оно очень легко интегрируется
(24.6)
где Xi(2) есть- очевидно, однозначная аналитическая функция от г.
Интеграл от этой функции
может быть, не будет уже однозначной аналитической функцией, но
получающуюся многозначность очень легко выделить. В самом деле, мы имеем
дело с двухсвязной областью, лежащей вне контура С. Пусть контур Cj
охватывает контур С один раз в отрицательном направлении, и обозначим
через К значение интеграла
при обходе контура Сг в отрицательном направлении увеличивается на 2тгiK.
Поэтому функция
будет уже однозначной аналитической функцией от z вне контура С. Теперь
мы можем проинтегрировать уравнение (24.6) последний раз:
Если мы представим аналитическую функцию \(z) в виде суммы
В этом последнем равенстве все члены, кроме X(z), по доказанному,
являются однозначными функциями от х и у, следовательно, и \(z) будет
однозначной функцией от г.
Используем теперь заданное нам условие, что при г~>оо функция vx—iv
стремится к предельному значению U. Если бы vx — tvу было бы
аналитической функцией от x-j-iy, то, как показывается
с,
Ясно, что функция
К lnz
X 0) = / Xx(z)dz~ Klnz
4f* К — ivy) = z? (z) +- X О) + К 1п ^ -h \ (z).
то получим окончательное равенство
4р (vx — tvу) = zy (z) x (г) + X (z) + К In (zz). (24.7)
§ 24]
ПАРАДОКС СТОКСА 515
в теории аналитических функций, из только что указанного условия
сразу вытекало бы разложение
г'1
П= 1
В рассматриваемом нами случае имеет место аналогичный же результат. А
именно, напишем разложения в ряды Лорана однозначных аналитических
функций <p(z), у (z), \(z):
со со со
—со —со —со
пусть, далее, Сг есть окружность большого радиуса г с центром в начале
координат. В точках этой окружности
z — rel%, z — re 'iH и, следовательно, на Ст мы имеем следующее
равенство:
со со со
4р. (px-lvy) = S !”+1)8 + S 7^ Ш г.
—со —со —со
Умножим обе части этого равенства на е1й® и проинтегрируем по 0 в
пределах от 0 до 2тс. Замечая, что
2л
jeMdQ = 0 при г О,
о
легко придём к следующим соотношениям:
2т:
4(vx — lvy)e^db^=2^[^+J_krk (А=±1. ±2,...),
О
2и
41* / — ivy)dB = 2ir (a-ir2+Fo + To ~f~ ln r)-
0
По предположению, vx — lvy равномерно стремится к U при г —> со,
следовательно, в первом равенстве левая часть стремится к нулю, а во
втором к 8т:р.?/. Это возможно только в том случае,
516
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ жидкости
[ГЛ. п
Но тогда формула (24.7) показывает, что функция vx-—ivy должна иметь
следующий вид:
со со ад
4^ к - 5-+4?и+2 |г+ Е •
Я = 2 /1=1 /2=1
Дифференцируя это равенство по z и принимая во внимание равенство (24.6),
найдём, что
СО
«р о)=2 =Р+т-
а-2
Но теперь ясно, что при возрастании г давление р убывает как 1/г2, так же
убывают производные dvjdr и dvyjdr (мы могли бы к р, а следовательно, и к
ср(г) прибавить ещё произвольную постоянную р0, но мы можем, не нарушая
общности, считать последнюю равной нулю). Но тогда подынтегральная
функция в выражении (24.4) будет порядка IjR2, а сам интеграл / будет
порядка 1/R. Мы доказали, таким образом, что
Нш 1 = 0.
со
Но так как подынтегральная функция в двойном интеграле / неотрицательна,
