Методика решения задач по физике - Кобушкин В.К.
Скачать (прямая ссылка):
ресующих нас величин получить нельзя.
Задача 18
Написать явное выражение вектора Умова - Пойнтинга через
амплитуду колебаний волны, частоту колебаний и плотность среды (см.
рис. 19).
Вектором Умова-Пойнтинга называется величина, показывающая,
какое количество энергии переносит волна за единицу времени через
единичную площадку, перпендикулярную направлению
распространения волны.
Решение
Если за время М через площадку А5", поперечную волне, будет
перенесено энергии АЕ, то из определения вектора Умова
\Е
имеем, что его величина определится отношением Дг. д^ , а так как
вектор этот направлен в сторону переноса энергии (по скорости
волны), то, обозначая этот вектор буквой Р, получим
у, Д Е и
м дsu ' И'
- \Е -
Поскольку "Д2 = Дг, то Р=-^~ и, а так как Д5цАг=АУ -
объем, который заполняется волнами за время А/, то Р = ~и.
Если АЕ трактовать как количество энергии колебаний, запол-
Д Е
няющих объем ДУ, то j^=w - есть объемная плотность энергии.
Поэтому Р =wu. Под w можно понимать энергию всех осцилляторов (т.
е. вибраторов или колеблющихся частичек), находящихся в единице
объема, т. е. w = m, где е - энергия одного осциллятора, ап - число
осцилляторов в единице объема. " п тш2ДД3 у.
Поскольку, как показано в задаче 9, е = -^-> то Р =
maL1AR3 - -
- -2-P-Ut и поскольку тп есть плотность среды р, то окончательно
179
Задача 19
Исходя из решения предыдущей задачи, показать, что в одно-
родной изотропной непоглощающей среде для сферической волны
амплитуда колебаний обратно пропорциональна расстоянию до
источника.
Решение
Окружим источник двумя концентричными сферами радиусов
Го и г (рис. 20).
Поскольку среда однородна и изотропна, то волны будут
сферическими, а так как среда не поглощает, то &Еа - &Е, т. е,
сколько энергии пройдет через поверхность сферы S0, столько
пройдет и через поверхность S.
Поскольку поток энергии ^E
через поверхность &SU равен P&SU,
то из Д?0=Д? или из
Р0Д5О = ЯД5 (*)
получим ?°-^"и4кГо= 2 R и^Г ,
A г
откуда ДR = -^LJL, а тогда, как
и указано в водной части к этому
разделу, уравнение сферической
волны будет иметь следующий вид
для случая колебания смещения
частиц:
смегц = COS (wt + ф0 - .
Заметим, что из (*) вытекает для случая сферических волн Ри4кг1 =
Р4кг и, значит, Р- Р°г1.
Повторяя рассуждения для случая плоской волны, читатель может
убедиться в том, что в плоской волне kR = &P0 и Р = Ри.
Задача 20
Интерференцией БОЛИ называется явление наложения волн друг на
друга, приводящее к тому, что амплитуда результирующей волны
может быть той или иной в зависимости от того, каков сдвиг по фазе
между колебаниями в волнах.
Принимая, что амплитуда результирующего колебания мак-
симальна, если сдвиг по фазе у соответствующих колебаний равен 2кк,
и минимальна при Дер = (2k -}- 1) я, найти геометрические места точек,
в которых амплитуда колебаний от двух точечных источников
максимальна и минимальна (рис. 21).
180
Решение
Поскольку Дср = (r)8 - 'fj, где <ра и cpi - фазы встречающихся
волн, тс
Видно, что ДФ оказался зависящим от времени, а это означает, что
положение интересующих нас максимумов и минимумов колебаний
будет меняться со временем, Такое непостоянное во времени
распределение амплитуд результирующих колебаний
называется неустойчивой интерференционной картиной, а сами
источники и волны - некогерентными (несогласованными).
Но если о).2 = си, = ш, то (с учетом того, что при этом и ха = Аг
= Х,=Х) Дср = Дгр0 - 2тс-у-.
Поскольку условием максимума колебаний является Д<р = 2Ьс,
ДГ
то 2&тс = Дср0 - 2л -jj-, откуда соответствующая разность хода
В том частном случае, когда в источниках колебания происходят со
сдвигом фаз Дср0 = 2тт, получим t\r - (k - n)X = mX = = (целое
число) Х^- При зафиксированном (k - п) имеем, что Дг = const, т. е.
разность расстояний от точек местоположения максимумов до
источников есть величина постоянная и, значит, они лежат на
гиперболах, фокусы которых находятся в источниках.
Итак, все максимумы находятся на семействе гипербол Дг - ~nik,
где т - целое число.
Рис. 21.
Дг = /еХ
1 ZTL
181
Очевидно, все минимумы лежат на семействе гипербол Аг =
= (2т-{-1)у- Ясно, что в случае когерентных источников (т. е.
таких, у которых Дер Ф Дер (/)) положения максимумов и минимумов со
временем не меняются. Такая интерференционная картина называется
устойчивой.
Задача 21
Какое количество энергии волн "падает" за единицу времени на
единичную площадку от точечного источника волн мощностью N,
находящегося в однородной, изотропной и непоглощающей среде на
расстоянии г от площадки; нормаль площадки составляет угол я с
вектором Умова.
Решение
А Е
По смыслу вопроса нас интересует величина Р' == ,
отличающаяся от величины вектора Умова лишь тем, что в знаменателе
стоит вместо нормальной к вектору Р площадки AS;[ площадка AS,
расположенная под каким-то углом а к Р.
