Методика решения задач по физике - Кобушкин В.К.
Скачать (прямая ссылка):
тележки и шарика с ускорением а эквивалентно тому, что на шарик,
кроме сил mg и Q, действует еще сила инерции - та (с точки зрения
наблюдателя, связанного с тележкой, т. е. с неинерциальной системой
отсчета). Сила mg'= mg -та эквивалентна новой тяжести. Но в таком
случае наша задача сводится к задаче 1, только роль mg играет в этой
задаче новая
"тяжесть" mg' = mg - та и, значит, 7 = 2* /.?¦ Но теперь задача
сводится к нахождению g'. Из рис. 16, г видно, что
{mg'f - V(mg)*-j- (ma)a - 2m.gma cos (90° - a),
откуда g' = Vg2 4- - 2ag cos (90° - a) , а потому
7 = 2*1/ '¦
у V g" + - 2ag sin a
Результат решения, естественно, тот же, но получен он несравненно
более простым способом.
Читатель может попробовать усложнить задачу, введя в условия
заряд шарика q и электрическое поле Е, составляющее с g некоторый
угол у. Из полученного при этом решения можно будет получить
решения всех предыдущих задач как частные случаи.
Задача 8
Цилиндрический брусок (рис. 17) находится в вертикальном
положении на границе раздела двух жидкостей и делится этой
границей на две равные части. Напги период малых вертикальных
колебаний бруска в пренебрежении силами трения.
172
Решение
Г_
_i
г* -
"ЛЯ
-pr
Fo-
F
Решение задачи сводится к нахождению коэффициента возвра-
щающей силы k. Если из равновесного положения сместить брусок
на Дг, например вниз, то возникнет возвращающая сила, напра-
вленная вверх и обусловленная изменением выталкивающей силы.
Действительно,
F = (F'Kblx-\-mg)- =:Дл-=^г-д-г_-
(Fвыт "f" Д^выт.
Но ДД,Ы1 складывается из ДFx
и ДFit так как брусок плавает
в двух жидкостях. При этом
Д/^! - это прибыль архимедовой
силы со стороны нижней жид-
кости и направлена вверх
(навстречу Дг), а Д?4 - убыль
архимедовой силы со стороны
Еерхпей жидкости и направле-
на в сторону Дг (см. рис. 17).
Поэтому
F= Д?выт = - pi^S Дг
-f P^S Дr = - gS (pi -р4) Дг,
откуда k = gS (pi - р4).
Для периода качаний имеем
тд-
тд -
Рис. 17.
T=*YI=2"VWb-n.
Массу бруска определим из условия равновесия бруска
(tm)g + Fi + Ft-О,
или в проекции на направление тяжесш с учетом Vl - Vi =
V V Л
тё- Pig дг - Р-2?тг=0,
V
2
от куда т = (р, -(- р4) ~ или т = (р, -(- р4) ~.
Подставляя это значение т в формулу для Т, получим
Т = 2тг 1f
V ig(Pi
Ра)
РаГ
При pi = p4 T-*-co, что означает отсутствие колебаний.
Ясно, что для численного ответа на вопрос задачи необходимо
задание вхбдящих в решение величин.
173
Задача 9
Сформулировать зависимость полной энергии математического
маятника от амплитуды малых собственных колебаний и частоты.
Связать частоту колебаний с максимальной скоростью маятника.
Решение
Поскольку колебания малы, то, как показано в задаче I,
Fz =- kAr. Но это означает, что потенциальная энергия выра- . "
с kAr3
жается формулой Еп = -^~,
В крайней точке |Дг| = А/? и, значит, в этой точке Еп =
k\R2 т-, " "
= -2~. Поскольку в крайней точке скорость маятника, а значит,
и его кинетическая энергия равны нулю, то полная механическая
энергия равна потенциальной:
п с I с с &AR2
^мех - Як "т" Яп -- Яп - 2 *
Поскольку при гармонических колебаниях смещения Дг ш =
1 Г к , а ц п kAR3 m<aaAR3
= у - , то k = mw\ Но тогда EMSX=-j- =-^-.
В положении равновесия Еп = 0 и EMSX = EK. Поскольку энергия
маятника не меняется (сопротивления нет и колебания собственные), то
из того, что потенциальная энергия в крайней точке равна
кинетической в равновесном (наинизшем) положении,
m^AR* mvlnax
следует-^- =-2-> откУда = или К = шДR, где V = ита* - амплитуда
колебания скорости.
Задача 10
Найти время, необходимое математическому маятнику для
прохождения расстояния от Дгг до Д
Решение
Время движения маятника и смещение Дг входят лишь в уравнение
Дг = AR sin (mt "ро), откуда через смещение Дг время
А/*
движения выражается формулой 4~'fo = arcsin или i =
. Дг
arcsin
Для нашего случая искомое Дt = ti - t1, где U и ty - время
движения маятника от начального положения до положений Ar-j и Ал
соответственно. Но тогда
. Аг. . Аг,
Задача 11
Какова начальная фаза гармонических колебаний скорости
маятника, если у = у0 при ( = 0, а максимальная скорость равна V?
Выразить результат через амплитуду смещения ДR и частоту колебаний
ш. Каков ответ для случая нитяного маятника, колеблющегося под
действием тяжести?
Для гармонических колебаний величины скорости имеем v = - V
sin (a>t -j- сро). Для момента 7 = 0 имеем y0 = Ksincp0, поэтому
ное (или максимальное) значение скорости связано с амплитудой
колебания смещения и частотой по формуле К = шДR, то ?о =
Нитяной маятник колеблется гармонично под действием тяжести.
Как изменится амплитуда колебаний, если нить укоротить от /1 до 12, не
меняя при этом энергии маятника?
Если в Земле прорыть тоннель (рис. 18), то в таком тоннеле при
отсутствии трения тело могло бы совершать гармонические колебания.
