Методика решения задач по физике - Кобушкин В.К.
Скачать (прямая ссылка):
значит почти равнозамедленно, и изменил свою скорость от Уо до v,
найти скорость погрузки песка = ^ (рис. 61).
64
Решение
На вагон действуют очевидные силы Mg, - [лс, Frp и Q. При этом
только сила Mg постоянна, остальные переменны. Учитывая оговорку о
равнопеременном движении вагона, можем считать
со + с .
РСср:
a -F° + F.
1 тр - 2 >
(М + АМ)ср = ^ +
. Qo + Q
М;
Q,
ср-
По закону изменения импульса системы
2
1
2
1
2
М
+
Д
м
)
v
-
M
v
{
>
.
At =
(*)
Помня, что с-и - v, где и - скорость песка относительно земли
перед падением в вагон; v - скорость вагона относительно земли,
найдем
Ср+ с (ц - о") + Са - о) ;
"о + "
2
Проектируя (*) на t- и "-направления получим с учетом PJP - kQcp
- (м + дм) g - 4- 2i+^=о.
Исключая отсюда , получим
_ [(л ^±1 + k(M-\-AM)g + k,л"]Д/ = 4- ДА/) у - Мо0.
Учитывая, что в нашем случае
At:
и что
21
"0 +0
u=V2gH<
а также, что
21
AM = и.А t - и. -
4- г г v" 4- v
3 D. К. Кобушкжг
65
получим
(V + + е + Ьр У2§^\^rv-
= ~(уи + 5л^)и + уии°-
Откуда после преобразований и упрощения найдем
(v% - v2
^ \ 2/
1'_-!-1з"+",1+"(^+да1Г1)'
Читатель может исследовать результат для частных случаев: [л = 0,
k = Q, ц0 = 0, и = 0, &=0 и v - 0.
7. РАБОТА, ЭНЕРГИЯ, МОЩНОСТЬ
Если уравнение F = ma спроектировать на направление движения,
то
F cos a = mat. (1)
Если F cos а = const, то at = const и справедлива формула
Дз = ^. (2)
Но тогда, исключая из (1) и (2) касательное ускорение, получим
с-л mvo /0\
FAs cos я. = -^ 2~. (о)
Это важное равенство называется законом изменения кинетической
энергии и позволяет решать многие задачи механики в тех случаях,
когда непосредственное применение второго закона Ньютона
затруднительно. В частности, этим равенством (3) разумно
пользоваться, когда ускорения нас не интересуют. Надо четко
представлять себе, что равенство (3) - скалярное.
Величина FAscosv. называется величиной работы и обозначается
буквой А, т. е.
А = FA s cos а.
При F cosa^>0 работа положительна; при F cosa<C0- отрицательна.
Или, что все равно, работа силы положительна, если эта сила имеет
составляющую, направленную по скорости; если же сила имеет
составляющую, направленную навстречу скорости, то ее работа
отрицательна.
Среди сил есть такие, значение которых зависит от скорости
движения (например, силы сопротивления, электромагнитные силы).
Работа этих сил зависит от формы траектории.
Силы, значение которых зависит только от координат тела, его
положения (например, силы тяжести) или от его формы
66
(упругие силы) и работа которых (и это главное) не зависит от формы
траектории, а определяется только начальным и конечным положением,
называются потенциальными.
Потенциальным силам можно сопоставить понятие потенциальной
энергии (или энергии положения).
При этом ДЦ7П = -FnAscosa или ДИ7П = - Лп или Лп = -Д^п" т. е.
работа, совершаемая потенциальными силами, равна убыли
потенциальной энергии этих сил.
Разделим все силы, способные действовать на интересующее нас
тело, на силы сопротивления Fconp. потенциальные силы F" и все прочие,
которые мы будем называть F.
Тогда закон изменения энергии может быть записан в виде
где а, р и | - углы между перемещением Дг и соответствующими
где Лсопр - работа сил сопротивления; А-работа всех прочих сил,
кроме потенциальных и сил сопротивления; Д W - изменение полной
механической энергии тела или системы тел.
Если А = 0 и Лепр = 0, то Д W = 0 или W - const, т. е. получаем
закон сохранения энергии.
Считается известным, что потенциальная энергия тела, высота
центра тяжести которого равна h, определяется Wg = mgh (для случая,
когда уровню отсчета энергии соответствует h - 0). Потенциальная
энергия деформированного тела
где k - коэффициент жесткости, показывающий, какую силу надо
приложить к телу, чтобы вызвать у него единичную деформацию; х -
величина деформации (удлинение, укорочение, прогиб и т. д.); при
этом деформация отсчитывается от состояния свободного,
недеформированного тела.
Fсопр Ascosa-j- F" As cos p -(- F As cos у - A \VK,
силами.
Учитывая, что /7nAscosp = - ДЦ7П, получим
Лсопр ~(- Л = Д И'7К ~1~ Д
^п
ИЛИ
Л -j- Лсопр - д W,
Какова жесткость k буфер-
ных пружин вагона, если при
скорости ?>о он останавли-
вается на пути s при столкно-
вении его с опорой? Масса
Задача 35
Г"
вагона равна М, буферных
пружин две (рис. 62).
Рис. 62.
3*
67
Решение
Очевидно, кинетическая энергия вагона перешла в потенциальную
энергию пружин. По закону энергии для системы вагон - пружина
имеем
4 4- ^СОПр = к -)- Л IPп
и так как Л = Лсопр = 0, то
0=(^-^) + 2(^-f).
Учитывая, что s0 = 0 и 0 = 0, получим
Ь-
•Ь v -> 4
Задача 36
Цилиндрическая труба высотой Н и толщиной стенок Ь построена из
материалов плотностью р. Считая, что сечение трубы есть кольцо с
внутренним радиусом R, найти работу силы тяжести при постройке
