Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
называется линейная по бф (т) часть разности
бF [ф] = {F [ф + бф] - F [ф]}.
Вариационной (или функциональной)
производной называется предел *)
Рис. 1. К определению вариационной производной. Штриховой линией
изображена функция ф (т), возмущенная на отрезке At на величину бф (т).
М [ф] бф (<)
бF [ф]
¦ lim-д[_>о ] dx бф (т)
At
(2-1)
Вариационная производная от функционала Е [ф] является снова
функционалом от ф (т), зависящим еще от точки t как от параметра.'
Следовательно, эта вариационная производная будет
*) Отметим, что правильнее было бы писать вместо бF [ф]/6ф (t)
выражение б/Убф (t)dt (хотя бы из соображений размерности), см.,
например, [29, 30]. Однако мы будем придерживаться обозначения 6F/6q> (t)
с целью сокращения записи.
16
иметь производные двоякого типа: ее можно дифференцировать обычным
образом по параметру t, а можно также составить ее вариационную
производную по <р (т) в точке т = t, являющуюся второй вариационной
производной от исходного функционала:
бф (i)
№ [ф] L бф№
b2F [ф]
бф (?) бф со
Вторая вариационная производная будет уже функционалом от ф (т),
зависящим от пары точек I, t, и т. д.
Найдем вариационные производные от функционалов а), б), в). В случае
а)
бF [ф] = F [ф бф] - F [ф] =
f+ - Д(
2
= ^ di а (т) бф (т) =
^ d% а (т) бф (т).
(- - Д( 2
Если а (t) непрерывна на' отрезке At, то по теореме о среднем бF [<р] =
a(t') I dx бф (т), где точка t' принадлежит отрезку
At
[t - y At, t + у Дг], так
что
w [ф] = lim a(t') = a(t).
(2.2)
6cP" ы-*0 Аналогично в случае б)
получаем
dF [ф]
бф (t)
jj d% [В (г, t) + B (t, т)]
ф (т) (ti < t < t2).
Отметим, что здесь функцию В (т1, т2) всегда можно считать симметричной
функцией своих аргументов. В случае в)
F [ф + бф] = / (Ф [ф + бф]) = / (Ф [ф] + 6Ф) =
=/(ф [ф1) + а/У1),бф + ¦ • •+ а/(аФф[ф1)-бФ + . . . и,
следовательно, получаем
' (2-3)
; бф (<) 1 ' LYJ' дФ бф (г)
Рассмотрим функционал Ф [ф] = fф] F2 fф]. В этом случае получаем
6Ф = {Ф [ф + бф] - Ф [ф]} =
= {^i Гф + бф] F^ [ф + бф] - F1 [ф] F, [ф]} =
= F1 [ф] б^2 [ф] + F2 [ф] бF1
[ф]
17
и, следовательно,
T&r'.l*! F' l'f 1 "'.М Т5г|г + * W-W • (2'4)
Можно формально определить и выражение для вариационной производной
функционала <р (т0) по функции <р (t) соотношением
бф (Т0)
бф (г)
'(т0 -*)¦ (2.5)
Формулу (2.5) можно обосновать, например, рассматривая линейный
функционал вида
00
<2-6>
-оо
Для этого функционала, согласно (2.2), вариационная производная имеет вид
б/ [Ф] _ J__exp {_ (2.7)
<5ф(0 Угл
Переходя формально к пределу при а -> 0 в выражениях (2.6) и (2.7), мы и
получаем формулу (2.5). С помощью формулы (2.5) очень удобно производить
дифференцирование. Рассмотрим, например, квадратичный функционал вида б):
6 П* j j , \ / \ / ч (24>
^ ^ dxx dx2B (т1? та) ер (Ti) ср (т2)
1
и и
J jj dxL dx2B (Tlt та) [-^Щ- Ф (*а) + ф (ТХ)
бф (t)
ti и
и и
бф (Та) 1 (2 5)
(I)
11 h
U
--= § dx [В (t, т) + В (т, ?)] ср (т) (г2
< t < t2).
и
В качестве другого примера рассмотрим функционал F [ср] =
tz
- ^ dxь{х, ср (т), ) • В этом случае
и
№ [ф] (jL3) С \dL_ dL_ _d_1 бф (Т) <^_6>
бф (t) J | 5ф 5ф dT j бф (О
если точка t принадлежит интервалу (tlt t2).
Подобно тому, как функция может быть разложена в ряд Тейлора,
