Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
v, получаем равенство
Р (ас) = <6 (х - *)> = <6 (Xl - Zj) . . . б (хп - zn)>, (1.13)
10
которое можно припять за определение плотности вероятностей случайной
величины х *).
Моменты и кумулянты случайной величины z при этом определяются
равенствами
•'Л,......i" = -rr- * я -ФИк-о,
11 I OV-
... OV.
'1
^>.-.'" = -3^-------------- 0(")|в=о,
1 U I OV. . . . OV:
(1.14)
'1
где 0 (у) = In Ф (v), а сами функции Ф(^) и 0(w) выражаются через М ж К с
помощью рядов Тейлора:
оо
тг= О
(1-15)
0
Ы = V -i- A'j i Vj .. .Vi . \ / / I n\ T'"' n 'l ln
В качестве примеров рассмотрим случайные величины z двух типов.
1) Величина z - гауссовская случайная величина с плотностью
вероятностей p(z) = ^=;-exp j-. Для нее имеем
Ф (г;) = ехр {- -^-1 , 0 (v) = - ,
W I " J ^ (1.16)
M, = K, = 0, Л/а = K2 = а2, а:я>2 = 0.
Рекуррентное равенство (1.8) в этом случае принимает вид
Мп = (п - 1) а2М"_2 (п = 2,. . .) (a2 = <z2", (1.17)
откуда следует, что
М2п+1 = 0, М2п = (2м - 1)!! а2(tm). (1.17')
Рассмотрим теперь среднюю величину <z/(z)>, где f (х) - произвольная
детерминированная функция **). Средние характеристики
*) Отмстим, что если случайная величина z может принимать лишь
дискретные значения z; (i = 1, 2, . . .) с вероятностями pi, то в этом
случае аналогом формулы (1.13) является формула
. ( i, i ~ к, где о; k - ^ '=/-/¦ -С|Шнол Кронекера.
**) На функцию / (г) накладывается только ограничение вида / (х) ехр
{-х2/2ст2} -> 0 достаточно быстро нри х -* + оо.
И
такого типа далее в книге будут фигурировать довольно часто. Согласно
определению (1.2)
Рассмотрим теперь среднее значение <ехр {coz} / (z)>, где / (х) по-
прежнему произвольная функция, а величина со может быть и комплексным
числом. Для среднего значения имеем
В частности, дифференцируя (1.19) по со и полагая со = 0, мы приходим к
формуле (1.18), а полагая в (1.18) / (z) = z"-1, мы приходим к
рекуррентному равенству (1.17).
Из формул (1.19) вытекают формулы, полезные для практических
применений:
Если же величина % является случайным гауссовским вектором с
компонентами zt (<z,-> = 0, г = 1, . . ., п), то характеристическая
функция описывается равенством
где Вц = (ZiZjy, а по повторяющимся индексам предполагается суммирование.
В этом случае вместо (1.18) - (1.20) легко получить равенства
Отметим, что для вычисления средних значений типа формулы (1.19) может
быть полезен следующий прием. Вместо случайной
оо
- оо
Интегрируя по частям, получаем равенство
оо
со
<е"г/ (z)y = -~~ dz / (г) exp ~ -f rozj =
-оо
= expp^-j</(z 4- юс2)>. (1.19)
<ze"z> = со <z2>
<efflz> и т. д. (1.20)
(1.22)
<е1,г/ (s)> = exp j-i- Ba9vav91 </ (zv + 5v6y6)> и т. д.
12
величины z и функции от нее / (z) введем двумерную случайную величину (z,
/ (z)), статистические характеристики которой описываются
характеристической функцией
Ф (v, и) = <ехр {ivz + iuf (z)}> = ехр {0 (v, u)}.
В этом случае величины типа (1.18), (1.19) будут просто описываться
производными функции Ф (v, и) при v = и = 0. Для гауссовской величины z
со средним значением, равным нулю, согласно (1.19) имеет место равенство
ф(у, и) = ехр {- (ехр {iuf (z -f iv <z2"}>, (1.23)
и в этом случае
0 (у, и) =----ь ^ > In <ехр {iuf (z -j- iv <z2>)}>. (1.24)
Дифференцируя (1.23) по и и v и полагая их равными нулю, мы приходим,
естественно, к формулам, полученным выше, а разложение в ряд Тейлора
функции 9 (v, и) определяет совместные кумулянты величин z и / (z). Так,
в частности, из (1.24) следует формула [34]
Кп, 1 = -ir г- 0 (V, и) |"=и=0 =
1 х dv ди
= 4- ~Sr </ (2 + W <z2"> |в=0 = <z2)'1 </(n) (Z)>, (1.25)
i dv
описывающая кумулянтную связь между гауссовской случайной величиной z и
функцией от нее.
