Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
характеристиками величины It (0). Отрицательные значения | в (1.22)
соответствуют изменению направления обхода контура эллипса и,
следовательно, отрицательным значениям площади S.
Вернемся теперь снова к задаче о лучах, описываемых системой уравнений
(1.1). В малоугловом приближении статистические характеристики лучей
могут быть описаны, как показано выше, на основе УЭФ. Из физических
соображений ясно, что при дальнейшем распространении луча в неоднородной
среде будут развиваться флуктуации направления распространения, и закон
распределения вероятностей должен стремиться к изотропному. Однако эту
дальнейшую эволюцию закона распределения уже нельзя описывать при помощи
УЭФ. Тем пе менее оказывается возможным получить точное решение этой
задачи для предельного распределения вероятностей [156].
Используем для т сферическую систему координат.
т = {cos ф sin 0, sin фsin 0, cos 0}, так что уравнения
(1.1) примут вид
d X * А * * А ^ " А
_ -соэфэтО, = sin ф sm 0, - =cos0,
¦ж =cos 0 [cos fP Z +sin fp w ] "sin 0 ^ '
(1'23)
dcp _ sin <p 3(1 cos ф 5[x
dl ' sin Qdx sin 0 dy
Функцию распределения вероятностей
W (I, r, 0, ф) = <6 (r (I) - r)d(9(l) - 0) б (ф (I) - Ф)> (1.24)
316
найдем в два этапа. На первом этапе зафиксируем одну из реализаций ц (г)
и рассмотрим задачу с вероятностными начальными условиями. Если при I = 0
задано начальное условие
ТГ (О, Л О, ф) = W0 (г, 0, ф), (1.25)
то дальнейшая эволюция распределения W описывается уравнением Лиувилля,
соответствующим динамической системе (1.23). Это уравнение можно
преобразовать в уравнение для функции Р (/. г, 0, ф) = IF/sin 0.
нормированной условием
Л Л
\ dr sin 0 с/0 dip Р (/, г. 0, ф) - 1, о -л
еР оР (ои . Г оц . я(х . I Q1
- -- s;n 0 - - cos ф -f -т- sin ф cos -
til 0() |_ Oz L ox r ' dy ' \ j
dP J Г Г71Х . tfU 1
- -.sm (p j_ cos ф -
<3cp sin 0 L ox dy J
= cos ф sili 0 I 2P - iL 1 _[_ sin ф sin 0 2P
' L c>x dx J T L dy dy
j- cosq\2p?--%-]=t (2 P Vfx - VP). (1.26)
Чтобы получить отсюда соответствующее среде со случайными
неоднородностями уравнение для W, (1.26) следует усреднить по ц. Можно,
однако, получить точное решение неусредненного уравнения (1.26),
соответствующее установившемуся режиму. Это решение аналогично
распределению Гиббса в статистической механике, которое является решением
стационарного уравнения Лиувилля *). Искомое решение не должно зависеть
от I, 0, ф. Легко видеть, что таким решением уравнения (1.26) является
функция, удовлетворяющая уравнению VP = 2Р Уц, т. е.
Р (/, г, 0, ф) = Р0 ехр {2ц (г)}. (1.27)
Это выражение является аналогом формулы Больцмана. Учитывая, что ц = In
п, будем иметь
Р (/, 0, ф) - Рпп2 (г).
Константа Рп может быть определена из условия нормировки (что имеет смысл
лишь для конечного объема)
Р (/, г, 0, Ф) = __ (i-28)
Ая ^ dr п2 (г)
Теперь не представляет труда выполнить усреднение но п, что
*) Отметим, что уравнения для лучей можно, как хорошо известно,
записать в форме гамильтоновых уравнений,
317
приводит к формуле
(Р(1, г, 8, ф)> =/-f{- -у. (1.29)
\''jt \ dr п2(г)
Если можно считать, что интеграл от п2 не флуктуирует, то (JPy ~ <ге2
(?')>. Этот результат имеет простой смысл: так как лучи изгибаются в
сторону увеличения п, то плотность вероятностей больше в той области, где
больше (п2у.
§ 2. Амплитудно-фазовые флуктуации
Рассмотрим теперь флуктуации интенсивности и фазы волны в
геометрооптическом приближении.
Из уравнений для интенсивности (8.1.24) и фазы в геометрооптическом
приближении (8.1.36) легко получить с учетом пространственной
неоднородности всех полей в плоскости х = const выражение [157]
^-</5>=^<e/> + i</^^)2)- (2-1)
С другой стороны, имеет место соотношение
V^r (х, рь ра) |Pi==? = </ [(V , X)2 + (V^H>, (2.2)
где Г (х, рх, р2) = <и (х, Pi) и* (х, р2)> - функция когерентности
второго порядка, рассмотренная во втором параграфе восьмой главы. В
приближении геометрической оптики выражение (2.2) упрощается и принимает
вид
VxV2r (X, Pl, р2) |?.=? = </ (VXS)2>. (2.3)
Левая часть уравнения (2.3) может быть вычислена в приближении
диффузионного случайного процесса. В этом случае функция Г для плоской
волны описывается формулой (8.2.19') (и0 = 1), а
(е(х, р )I(x, Р)> = § dp 'А (Р')<^-Щ^У)У =
