Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Решение (1.15') с учетом начальных данных имеет вид
(Bik(z)) = <Cit;(z)) = 0,
<Jit(z)> = [K0Ai X И°±ь\ = const.
Из (1.16), в частности, следует, что сохраняется средняя величина площади
Лт-угольника, построенного на точках !> ; (z):
N N
<5(Z)>=i+i(z)>=4'Z<[i?u(z) x R±i+i (z)1> i-1
i=1
(z) = RLi (z)).
Переходя в этой формуле к пределу при N ->¦ со, получаем выражение
<'5'(z)> = 4"^ ^ (xdy - ydx)y = S0, (1.16')
од
которое показывает, что среднее значение площади сечения лучевой трубки
сохраняется (С (z) - контур, охватывающий эту лучевую трубку В ПЛОСКОСТИ
2 = const) *).
Отметим, что сохранение средней площади в случае трех лучей было
получено в работе [154] на основе изучения соответствующего УЭФ для
совместной диффузии трех лучей.
Остановимся теперь на условиях применимости УЭФ. Как отмечалось выше,
УЭФ для диффузщг лучей удается обосновать только в малоугловом
приближении. Отсюда, согласно (1.7), возникает условие
Илп --------7-^1- (1-17)
'0
Это условие накладывает очень слабое ограничение на поперечное смещение
луча: (R_L (z)} <^ z2. Что касается поправок, связанных с конечностью
продольного радиуса корреляции, то, как ноказа-
*) Равенство (1.16') справедливо и для пегауссовских дельта-
коррелированных флуктуаций поля ц (г) [17].
314
но в [15], требование их малости приводит 'к условию z U и к тому же
условию (1.17).
В ряде задач, связанных с распространением света в
случайнонеоднородных средах, приходится рассматривать систему уравнений
(1.3) с граничными условиями, которые ставятся не в одной точке з = 0, а
в двух различных точках (см. (8.1.40)):
В±(Ь)=р0, тЛ(0)=0. (1.18)
В этом случае для рассматриваемой задачи не выполняется условие
причинности и, следовательно, эти лучи не описываются диффузионным
приближением. Вообще говоря, плотность вероятностей для этих лучей будет
условной плотностью вероятностей всей совокупности лучей, рассмотренных
выше. При этом, для того чтобы луч из начальной плоскости z = 0 попал в
точку р0 при z - L, необходимо, чтобы он вышел из точки /* (0),
удов-
летворяющей условию
L
К±(()) = Ро -\dz(L - z)V1\i(JRL{z),z) (<JBL(z" = po). (1.19)
0
Если расстояние L, проходимое лучом, достаточно мало, то можно решать
систему уравнений (1.3) с условиями (1.18) методом последовательных
приближений. В первом приближении в формуле (1.19) можно заменить
величину It (z) в правой части на ее среднее значение р0. В этом
приближении, в силу случайной природы функции (а (/'о, 2), сама точка It
L (0) является случайной точкой, плотность вероятностей для которой будет
гауссовской. Если же теория возмущений пе работает, то надо
воспользоваться теорией инвариантного погружения, сводящей краевую задачу
(1.18) к задаче Коши для некоторой вспомогательной функции (см. гл. 5).
При этом, как показано в § 3 гл. 5, одноточечные характеристики луча
совпадают с вычисленными по первому приближению.
Отметим, что такая лучевая постановка задачи позволяет подойти к
вопросу о флуктуациях интенсивности волтты из чисто геометрических
соображений. В рассматриваемой задаче должен сохраняться поток энергии
через сечение лучевой трубки, т. е. величина 1S = const, где S - площадь
сечения лучевой трубки, а Т - интенсивность волны, усредненная по сечению
лучевой трубки. Вырежем в плоскости наблюдения z - L площадку площадью
S0. Тогда имеем
I0s = rs0, (1.20)
где - интенсивность волны в плоскости z = 0. Из (1.20) следует, что
случайная величина I (р", L) определяется флуктуациями величины S в
плоскости z = 0, т. е.
1 (р0, L) = /0 Ит (/0 = const). (1-21)
s"^o
315
Отсюда следует, что статистические характеристики интенсивности волны
должны определяться статистическими характеристиками величины (0),
которая задается уравнением (1.19). Не ограничивая общности, можно
положить в (1.21) р0 = 0 и рассматривать случай, когда S0 - площадь
круга. В первом приближении, описанном выше, величина (0) имеет
гауссовское распределение вероятностей. В этом приближении имеет место
малая деформация контура площадки, а именно: он подвергается линейным
деформациям, и случайная величина S представляет собой площадь эллипса со
случайными величинами полуосей, различные средние значения которых
определяются статистическими характеристиками величиныIt < (0). Можно
показать [155], что в этом случае случайная величина ? = S/S0 при S0 -> 0
распределена по закону
= i I ttw*ехр {- *" та)} (u>0)- {i¦22)
- ос
где положительная постоянная а связана со статистическими
