Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
случаях.
§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФЛУКТУАЦИОННЫХ УРАВНЕНИИ
А. Усредненные уравнения для моментов
Уравнения (4.9) и (4.11) не являются "обычными" дифференциальными
уравнениями в частных производных, поскольку в них имеются случайные
члены. Для решения этих уравнений в классическом смысле обычно требуется
найти прежде всего точное решение У(х) = = У(а; /) при заданном f(х). На
деле такая процедура оказывается слишком сложной и фактически излишней.
Наблюдаемые величины и существенные свойства решений определяются
усреднением по случайным членам /(а). Мы можем преобразовать уравнение
(4.9) или (4.11) к дифференциальным уравнениям в частных производных для
наблюдаемых величин, переходя к усредненным уравнениям
(?У(х)>=П<У(х)) = </(х; У, ф" f)>, (4.13а,
(?Ф1(а))=П(Ф1(а)) = (Д(а; У, ф" /)). (4.136)
84 ГЛ. 4. СТАТИСТИКА ПОЛЯ
Значение этой процедуры сразу выявляется наглядно, если рассмотреть
усредненные уравнения (4.11):
? (У (х)> = (У3 (х)) + <ф2 (х)) + (/ (х)), (4.14а)
? <Ф М) = (V (х) ф (х)) + (g (х)>. (4.146)
Хотя эти динамические уравнения не содержат флуктуа-ционных членов, они
недоопределены, поскольку, например, (У(х)) зависит от величины (У3(х)),
о которой мы ничего не знаем, пока не решим самих уравнений.
Чтобы выявить наиболее существенные особенности задачи, рассмотрим одно
нелинейное уравнение
? У (х) = У3(х) + f (х), (4.15)
где f(x) - случайная вынуждающая сила. Чтобы получить информацию о
(У3(х)), можно рассмотреть уравнение, получающееся при умножении (4.15)
на У (у) V (z) с последующим усреднением по ансамблю
([ ? ХУ (х) - У3 (х) - f (х)] У (у) У (г)) = О,
или в другом виде:
? , (У (х) У (у) V (2)> = (У3 (х) У (у) V (2)} + (f (х) У (у) У (2)).
(4.16)
Таким, образом, для вычисления момента или корреляции третьего порядка
необходимо знать корреляцию пятого порядка и т. д. до бесконечности.
Эти уравнения можно в некоторой степени систематизировать, вводя
последовательность функций
Gгs (-Ч> 1 хГ, г/j, .. ., уs) (J (xj) ... f (хг) У {у\) ... У {у$))
(4.17)
Эти функции порознь симметричны по переменным х и у и для любых г и s
связаны основными динамическими уравнениями
^ yfirs {х • • - > Хг, У\, . . . , ys) ' ^rs + 2 (Хь * * * > ХТУ у], . .
. , ys, Г/], У\) +
+ хг, у у, у2, ys). (4.18)
§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФЛУКТУАЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ
85
Таким способом первоначальная задача сводится к бесконечной
последовательности связанных уравнений. Естественно, что аналогичный
набор связанных уравнений имеет место для более сложного взаимодействия в
(4.11).
Уравнения, подобные (4.18), встречаются во многих областях физики:
нелинейной оптике, статистической механике, теории турбулентности и т. д.
Кроме того, фактически аналогичные уравнения описывают средние величины в
квантовой теории. В библиографии приведен краткий обзор работ, в которых
рассматриваются такие проблемы, соответствующие уравнения и их
приближенные решения.
Б. Усредненное уравнение для характеристического функционала
При помощи соответствующего характеристического функционала можно дать
удобную формальную классификацию связанных уравнений (4.18). Будем
рассматривать V {х) и f(x) для простоты как действительные поля. В этом
случае соответствующий характеристический функционал можно взять в виде
С {S, s} = (exp {/ J [5 {у) V (у) + s {у) f (у)} dhy }). (4.19)
Предположим, что статистика вынуждающей силы задана; тогда можно считать
известным функционал
С {0, s} = (exp [t | s{y)f (у) d4y]). (4.20)
С другой стороны, необходимые физические величины определяются через
V(x), поэтому попытаемся найти функционал
С {5, 0} = (exp [i | 5 (у) V (у) d4y)]). (4.21)
Как заданные, так и неизвестные распределения определяются как частные
случаи совместного среднего значения (4.19). Это обстоятельство является
важной и общей характерной чертой анализа флуктуационных уравнений
посредством характеристического функционала.
86
ГЛ. 4. СТАТИСТИКА ПОЛЯ
Уравнение для С{5, s} можно вывести при помощи соответствующих
функциональных производных, которые вводятся как весовые функции,
связанные с производными по направлению. Другими словами, функциональные
производные
бC(S, s) бC(S, s)
бS (д.-) ' б.? (.с)
определяются из соотношений
I Е^ЧШ1а4х^^с{5;+хЕ's}|^' (4-22а)
I е W а*х ^ W С {5> 5 + те}(4-22б)
где Е(х) и е(х) - заданные гладкие функции общего вида. Как уже
отмечалось в предыдущей главе, в качестве аргументов для
характеристических функционалов следует, вообще говоря, брать только
подходящие гладкие функции.
В качестве простого примера рассмотрим прежде всего функциональные
производные от функционала
С, {?} = J S2 (*) d*x.
В этом случае
Д с, (S + ,?) |," - JL { j (У + 2tS? + да] Л } [_а -
= 2 J Е (х) 5 (х) d4x,
причем при вычислении предполагается квадратичная интегрируемость ? и 5.
Следовательно, в рассматриваемом примере
(Д _ о 9 (х)
6S (х) w •
Как и в классическом анализе, некоторые функционалы могут быть
недифференцируемыми. Например, формально видно, что
