Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
в гл. 2, моменты удобно рассчитывать с помощью производящей функции
Q(K n = S(i-ъ)пР(п, Т) =
п = О
= ( ехр
\
/•
(3.4)
Для вычисления Р(п,Т) или Q(X, Г) необходимы корреляционные функции поля
V(t) произвольно высокого порядка.
В (3.1) - (3.4) усреднение проводится по ансамбле случайных комплексных
функций V(t) (а не по однбй переменной U, как в гл. 2). Такие усреднения
играют важную роль для ряда физических и математических приложений;
существует обширная литература, касающаяся их свойств. Здесь можно
упомянуть книги Бартлетта [3.4], Рамакришнана [3.5] и сборник статей под
редакцией Векса [3.2], в которых дано общее рассмотрение проблемы. Более
специальный математический характер носят книги Дуба [3.7] и Гельфанда и
Виленкина [3.6].
§ 2 Стохастические процессы
57
Ниже мы дадим краткий обзор свойств стохастических процессов (случайных
функций) и методов их описания, пригодных для последовательного
вычисления функции распределения отсчетов (3.1) или ее производящей
функции (3.4). Свойства классических стохастических процессов не только
непосредственно используются в настоящей главе, но будут важны и при
квантовом рассмотрении.
§ 2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Напомним, что для описания распределения вероятности конечного числа п
случайных переменных обычно задают функцию плотности вероятности р" (х\,
х2, . . ., хп) для п величин Xj.
Как уже отмечалось ранее, эквивалентное описание может быть получено с
помощью характеристической функции ')
C"(s" s2, . . ., sn) =
= j ... j exp (г V ,v ,s Ph (Xi> д,2) . . . ? Xn) dx{ ... dxn\ (3.5)
эта функция, определенная для всех действительных значений Sj,
представляет собой фурье-образ р". Независимо от характера поведения р"
функция Сп всегда непрерывна и однозначно определяет р". Более того,
любое среднее значение, которое существует, можно всегда найти, пользуясь
функцией С". Вообще гоиоря, оба эти свойства не имеют места, если р"
определять через моменты. При этом может оказаться, что некоторые или все
моменты бесконечны, однако даже в том случае, когда все они конечны, они
могут неоднозначно определять функцию р".
В качестве примера определим характеристическую функцию, предполагая, что
р" представляет собой
*) Мы будем опускать пределы интегрирования, если они ясны из контекста
или, как в данном случае, пробегают значения от - ОО до + ОО .
58 ГЛ. 3. ПОЛУКЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
гауссово распределение с отличным от нуля средним значением
р" = л~п'2 (det ciik)~1'2 exp [ - y S (xi ~ bd aik (xk ~ **)].
(3.6)
где каждое суммирование производится от 1 до п. Тогда в результате
непосредственных вычислений получаем выражение
Сп = (exp(t x/s/)) = exp^t ^ Sfbj-^^SjaJkSkj,
(3.7)
где ark' - элементы матрицы, обратной по отношению к матрице с элементами
ajh. Замечая, что в экспоненту
(3.7) входят только члены второго порядка и разлагая в ряд левую и правую
части, получаем
< 2 XjSj) = 2 Sjbj, (3.8а)
<(2 XjSjf ) - <2 XjS,)2 = 2 SjdJkSk. (3.86) Поэтому C" можно представить
в виде
(exp(i ^x/s/)) =
= ехр(г xk)s^, (3.9)
где &Xj = Xj-{Xj). Это функциональное соотношение характерно для
гауссового распределения и его, собственно, можно рассматривать вместо
(3.6) в качестве его определения.
Если перейти к бесконечному числу случайных переменных, то
соответствующая плотность вероятности будет иметь, вообще говоря, только
эвристическое значение. В то же время характеристическая функция (теперь
функционал) сохраняет смысл и является характеристикой случайного
процесса в целом. В частности, если распространить пределы суммирования
до бесконечности, то соотношение (3.9) можно рассматривать как
характеристический функционал гауссова процесса с бесконеч-
§ 2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
59
ным числом случайных переменных. При этом следует иметь в виду одно
ограничение. Если для конечного числа степеней свободы значение каждой
величины s.; могло быть произвольным действительным числом, то теперь для
сохранения свойств непрерывности и дифференцируемости последовательности
Sj (/ = 1, 2, ...) следует выбирать таким образом, чтобы выполнялись
условия
со
2 !"/(*/> К °°> (3,10а)
/=.1
оо
2 si(Ax;/±xk)sk<°o. (ЗЛОб)
Чтобы подчеркнуть ограниченный характер последовательностей Sj,
удовлетворяющих (3.10), их называют
гладкими, или пробными, последовательностями. Здесь
нет необходимости конкретизировать какой-либо частный набор гладких
последовательностей. Многие интересные результаты можно получить, не
задавая более подробно полный набор подходящих последовательностей.
Существенно то обстоятельство, что на допускаемые последовательности Sj
следует налагать некоторые ограничения, иначе говоря, не каждая мыслимая
последовательность Sj пригодна.
Часто удобнее применять другое возможное описание формы
последовательности. Пусть функции Uj(t) образуют полную ортогональную
последовательность действительных/функций одного переменного. Пользуясь
этими функциями и случайными величинами лу, можно образовать
