Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
что магнитные частицы стремятся скапливаться в областях с большой
(напряженностью магнитного поля, покидая области, где напряженность поля
мала.
Задача 5.2. Химический потенциал решеточного газа. Идеальный решеточный
газ обсуждался в задаче 2.2 и, кроме того, о нем пойдет речь в Приложении
II. Использовать результат (II. 4) для энтропии и показать, что в
(пределе jV С Na химический потенциал имеет вид
тде f - N/Nо - доля узлов решетки, занятых атомами. В этом приближении
химический потенциал представлен графиком на рис. 5.3. Отметим, что в
этой задаче химический потенциал отрицателен. В обобщенном виде этот
результат дается (6.82).
Задача 5.3. Магнитное сгущение. Оценить величину магнитного момента,
необходимого для того, чтобы проявилось влияние магнитного поля на
концентрацию частиц (см. рис. 5.2). Температура равна 300 К. Выразить
магнитный момент в единицах магнетона Бора, т. е. в единицах '0,927 -10-
20 эрг-Гс-1. (Результат соответствует очень мелким ферромагнит-"ым
частицам в суспензии, которые используются при изучении доменной
структуры ферромагнитных материалов.)
(19)
Ц " X In /,
(20)
Глава 6 ФАКТОР ГИББСА И ФАКТОР БОЛЬЦМАНА
Системы и резервуары
Рассмотрим очень большое тело с постоянной энергией V0 и постоянным
числом частиц N0. Будем считать, что оно состоит из двух частей (рис.
6.1). Часть, представляющая для нас наибольший интерес, называется
системой. Другая, значительно большая часть, называется резервуаром.
Рис. 6.1. Система, находящаяся в тепловом и диффузионном контакте с
большим резервуаром энергии и частиц.
Весь комплекс изолирован от внешнего мира, так что полная энергия и
полное число частиц остаются постоянными. Температура системы равна
температуре резервуара, химический потенциал системы-химическому
потенциалу резервуара.
Система и резервуар находятся в тепловом и диффузионном контакте друг с
другом. Они могут обмениваться частицами и энергией. Контакт означает,
что температура системы равна температуре резервуара и химический
потенциал системы - химическому потенциалу резервуара. Если число частиц
в системе равно N, то в резервуаре оно равно No - N. Если система
обладает энергией е, то резервуар обладает энергией V0 - е.
Наша цель состоит в том, чтобы определить статистические свойства
системы, и для выполнения этой программы мы, как и в гл. 3, будем
рассматривать члены ансамбля, состоящего из идентичных экземпляров
система + резервуар, где каждый экземпляр приходится на одно допустимое
квантовое состояние.
СИСТЕМЫ И РЕЗЕРВУАРЫ
75
Резервуар Система
Ng-Nj частиц Энергия Ug-er
glNg-Nf'Ug-
Nt частиц Энергия е{
а)
Наиболее интересен такой вопрос: какова вероятность того, что при данном
наблюдении система будет обнаружена в l-м состоянии с энергией е; и будет
содержать N частиц?
Вероятность P(N, е/) того, что система содержит N частиц и находится в
определенном l-м состоянии с энергией е;, пропорциональна числу
допустимых состояний резервуара. Действительно, когда мы фиксируем
состояние системы, число допустимых состояний всего комплекса в точности
равно числу допустимых состояний резервуара, т. е.
g (полное) = g (резервуара). (I)
В этих состояниях резервуар содержит No - N частиц и имеет энергию U0 -
6;.
Отсюда следует, что вероятность P(N,ei) пропорциональна числу допустимых
состояний резервуара, т. е.
Р (N, е,) со g (No - N, U0 - e,), (2)
где g относится теперь уже только к резервуару. Мы специально выделили в
(2) зависимость g (резервуара) от числа частиц в резервуаре и от его
энергии. На первый взгляд кажется, что состояние системы зависит от
строения и содержимого резервуара, но в дальнейшем мы увидим, что оно
зависит только от его температуры и хими-
N0-H2 частиц Энергия Сд~?г g(Na-N2M0-s2)
частиц Энергия егг
б)
Рис. 6.2. Резервуар в тепловом и диффузионном контакте с системой.
а- система находится в квантовом состоянии /, и число допустимых
состояний резервуара - Nit Ua-B{). 6-система находится в квантовом
состоянии 2, и число допустимых состояний резервуара равно 8 (М) - ЛГ2,
С/* -ej). Ясли, как в данном случае, мы точно фиксируем состояние
системы, то полное число состояний, допустимых для совокупности система +
резервуар, как раз равно числу допустимых состояний резервуара.
ческого потенциала.
Так как мы не определили коэффициент пропорциональности в (2), то выразим
результат в виде отношения двух вероятностей: вероятности того, что
система находится в состоянии 1, и вероятности того, что система
находится в состоянии 2:
Я(ЛГ"в,) g(No-NhUo-B,)
Р (ЛТ, е2) g (No - N2, Uо - гг) ' w
Эти случаи показаны на рис. 6.2.
Величины g очень велики. Во избежание неудобств, связанных с
работой с большими числами, мы, как и раньше, будем
пользоваться lng, т. е. энтропией резервуара. По определению
g(NQ,U0) = exp[o(N0,U0)], (4)
76 гл. 6. ФАКТОР ГИББСА И ФАКТОР БОЛЬЦМАНА'
и отношение вероятностей (см. (3)) можно записать в виде
Р Ши ei) ехр [a(Mo - Nt, t/0 - et)]
