Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
координат как \г\~г.
227
Выясним, может ли функция G обладать нулями в этой об-
ласти, т. е. имеются ли там полюса функции G-1 (р, г). Для этого
рассмотрим спектральное представление (23. 25), где функция
F (р, Е) действительна и положительна. Продолжая его в комплексную
плоскость, можем написать
G (Я г) | dE
F (р, Е)
г - Е -}- гб sign Е
В комплексной плоскости z при z = а + ib мнимая часть G (р, z), равная
lmG{p,z) Ь | dE--:
(а - Ef + b2 '
- ОО
отлична от нуля. Поэтому ясно, что функция G'1 (р, г) не имеет
особенностей вне контура С. Не будет иметь особенностей также
и массовый оператор М (р, г + р).
При больших значениях е массовый оператор может вычисляться в низшем
порядке теории возмущений, и, как видно из результатов § 14, он стремится
к нулю при е со как е-1. Рассмотрим интеграл
М (р, Е + ц) _ г , М (р, ? + (г 4- гб signRe?)
1 = f dE 'if\ = I'd?
J e - u - E 4- (6 sien (E) J *
8 - [X - E + гб sign (E) J b г - ?
- oo с
Замыкая его по большой дуге в верхней (при е >• р) или в нижней (при е <С
р) полуплоскости, что возможно ввиду убывания М, и учитывая аналитичность
подынтегрального выражения, приходим к следующим результатам. Полученный
контурный интеграл сводится к вычету в точке Е = е - р + i6
(при е > р) и'ли
Е = е - р - 16 (при е << р)
/ = - 2jTi sign (е - р) М (р, е).
Сравнивая мнимые части обоих выражений для /, получаем окончательно
Re 44 (Я е),= -Д?-п<е.- N р jdE Im ) (23 33)
-- 00
Величина Im М = Im G~x = меняет знак в точке е = р.
I б I .
Если ввести знакопостоянную (положительную) величину
Im5R(p, е) - sign(e- р) Im М (р, е),
223
где Ж (р, е) = sign (е - р) М (р, е), то соотношение (23. 33) примет тот
же вид, что и спектральное представление самой функции Грина
00 _>
ReSR(p,e) = - -i-Р [ dE -signi--~r3" (р_, Е) _ (23. 34)
- оо
В ряде случаев использование этого соотношения очень удобно. Обычно
сделать прямое вычисление мнимой части массового оператора проще, чем
действительной,' поскольку б-функция, стоящая в Im М, сокращает число
переменных интегрирования. А по известной мнимой части с помощью
выражения (23. 34) нетрудно восстановить и действительную.
§ 24. КВАЗИЧАСТИЦЫ
24. 1. В предыдущих параграфах этой главы уже нередко упоминалось о
комплексах, появление которых приводит к возбуждению системы, о волновых
пакетах, имитирующих распространение частицы, коррелированной с системой,
и т. п. В этом параграфе будет введена некоторая общая точка зрения на
этот круг вопросов, связанная с понятием квазичастицы (в широком смысле
этого термина).
Начнем с рассмотрения спектральной формулы для одночастичной функции
Грина. Допустим, что аналитическое продолжение функции Грина в нижнюю
полуплоскость при е > р привело к полюсу в точке Е > - гТ-". (Для
простоты мы рассматриваем
Р Р
случай пространственно-однородной системы.) Тогда точную функ-
•4
цию Грина G (р, е) можно представить в виде
8)^Т-?^+/Г^+<Р(^ё)' &4А\
Р Р
где мы выделили в явной форме особенность этой функции. Здесь
-Э
- некоторый нормировочный множитель, <р (р, е) - функция,
р
регулярная в точке в = Е-> - г\Г-".
р р
Мы видим, таким образом, что в области значений е, близких к Е->, и в
области значений р, для которых Г-> ?-", точное выра-
р р р
жение для функции Грина G (р, е) сводится к первому члену выражения (24.
1) и с точностью до множителя Z-> может быть представлено в виде
G (р, е)оо(е - -f-tT-*)-1. (24.2)
229
Это соотношение позволяет заключить, что в рассматриваемой области
система взаимодействующих частиц, коррелированных друг с другом
произвольным образом, в известном смысле эквивалентна системе некоторых
других объектов, закон дисперсии которых Е-> отличается от закона
дисперсии истинных частиц е-> и корреляция между которыми отсутствует.
Другими сло-
р
вами, при выполнении всех перечисленных условий систему взаимодействующих
частиц можно заменить системой, которую допустимо рассматривать
одночастичным образом.
В самом деле, если Г-> действительно мало, то правая часть
р
соотношения (24. 2) не отличается от выражения для функции Грина системы
в приближении Хартри - Фока [см. выражение (10.8)]. Эта функция содержит
бесконечно малую мнимую добавку в знаменателе; поэтому малость величины
Г-" является
условием справедливости обсуждаемого заключения *.
Сравнивая выражения (24. 2) и (10. 8), мы видим, что величина заменяет
собой е-" - закон дисперсии частицы в прибли-
р р
жении Хартри - Фока. Поэтому Е-* можно интерпретировать
как закон дисперсии того объекта, введение которого позволяет избавиться
от рассмотрения корреляционных взаимодействий.
Этот объект и носит название квазичастицы в узком смысле этого слова.
Приведенное выше заключение можно переформулировать теперь таким^образом:
систему многих взаимодействующих частиц можно заменить идеальным Газом
квазичастиц **. Эта замена возможна далеко не всегда: она ограничена
малостью Г-"-
р
и близостью е к Е->. Следовательно, при нарушении этих условий
