Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
частиц (соответственно дырок), имеющих энергию Е + р (соответственно -Е -
Г р) и представленных с весом А (соответственно В). Тот объект,
распространение которого описывает функция G, представляет собой, таким
образом, сложную •суперпозицию частиц и дырок. При отсутствии
взаимодействия (точнее говоря, корреляции) эта суперпозиция сводится в
соответствии с соотношением (23. 13) к одному члену.
23. 5. Выше уже упоминалось о том, что спектральная формула дает
возможность установить правила обхода особенностей функции Грина и тем
самым придать этой величине полную однозначность. Это достигается
установлением связи между действительной и мнимой частями функции Грина.
С этой целью рассмотрим симметричную и антисимметричную •относительно
перестановки q1 и q2 части G, А и В, обозначая эти части соответственно
индексам "с" и "а". Отметим сразу же, что величины Ас и Вс действительны,
а Аа и Ва - чисто мнимы. В самом деле, учитывая определения (23. 6),
имеем
1ш [<dJ Ш ф" (ft) + Фп Ш Ф" Ы1 - о,
Re [Ф* (<72) Ф" (ft) - Ф^ (ft) Фп (ft)] = О и аналогично для функции В.
Поэтому мнимая часть симметризованной функции Грина Gc (ft, q2, е)
обязана своим появлением только факторам ±ib в знаменателе. Подобное
утверждение относится к действительной части Ga (ft, q2, е). Учитывая
соотношение
lm (а + t6)-1 = +/я6 (а),
находим:
00
Im Gc = nj dE { - АС(Е) б (Е - е -f р) + Вс (Е) б (Е + е - р)},
Re Ga = in ]dE{ - Аа (Е) б (Е - е + р) + Ва (Е) б (Е + е - р)}. •
о
При е > р в области интегрирования обращается в нуль аргумент первых
слагаемых в фигурных скобках; при е << р эффективно второе слагаемое.
В результате находим:
Ас (в - В) = - Im °с (е)
ЛДе -р) =-^-ReGa(e)
Вс{ - е + р) = 4-Im °Ле)
Ва ( - е 4- р) = - Re Ga (е)
е>р,
е <р
(23. 14)
218
или иначе
Ае(Е) = -^-ImGc(p + ?),
Аа(Е)
ReGa(p + Е),
ЕС(Е) = - ImGc(p - Е),
Ва(Е)
Re Ga(p - Е).
(23. 14'>
Подставляя эти соотношения в спектральную формулу, находима
Gc (е) = _ -L f dE [ lm G.:c 1,1 : ^ су ' я J ^ 8 - Е - [Х
+ гб
lm GC(P - Е) ) г б е ¦)- Е - р - гб / '
G
(е) = _i_ Г dE I ReGa(R + Е) _ Re Ga(p - Е) \
° ' я J ^ е - Е - р -j- гб е + Е - р - г б ) '
Эти соотношения можно записать в более компактной форме* если в первом
слагаемом произвести замену р + Е Е, во втором слагаемом р - Е -> Е:
Gc(e)
1
я
dE
sign (Е - р) lm Gc (Е)
е - Е -f- /6 sign (Е - р) '
- оо
Ga (е) = - Г dE signipE ~.^)ReZa(E) г ¦
v ; я J е - ? + <6sign(? - р)
(23. 15>
Выделяя действительную и мнимую части уравнений (23. 15)* и учитывая
соотношение
Re [а ± /б]-1 = Р 1/а,
найдем окончательно
Re Gc (е) = - -L Р J dE siSn (Е - ix)hnG с (Е) ^
Irn Ga (б) = - Р Г dE sign (Е - р) Re Ga (?) _
а V ' Я 1 8 - Ь
(23. 16>
Используя соотношение (23. 11) и факт действительности А. и В, найдем,
что в пространственно-однородной системе
Re G (р, е) = 2 р | dE ¦ sign (Е ~1^" 0 (р' Е) .
(23. 17>
21Эв
Не составляет труда найти и обратное соотношение, выражающее мнимую часть
через действительную. С этой целью докажем соотношение
(23. 18)
При Е ф Е' прямое вычисление дает нулевой результат, при Е ~ Е' левая
часть соотношения (23. 18) обращается в бесконечность. Для нахождения
численного коэффициента при б-функции возьмем интеграл от левой части по
? - Е' = ?:
'lm.p Н'теттг- f
-N -00 -оо
йг
In
N + е
N ¦
Делая замену е Л/е, приходим к интегралу
Р J
dt
In
] j е
что и доказывает соотношение (23. 18).
Умножая обе части соотношения (23. 17) на s _ д, интегрируя :по е и
учитывая соотношение (23. 18), найдем
Im G (р, е) = sign (е - р) Р J dE
Re GJp, Е)
. (23. 19)
Покажем, как восстанавливаются правила обхода с помощью этих соотношений
на примере свободной функции Грина. Пусть нам известна действительная
часть функции Грина
ReG0(/3, е) = p_li-.
Р
Подставляя это выражение в (23. 19), найдем
Im G0 (р, е) = - яб (е - е->) sign (е^ - р).
Таким образом, мы вернемся к правильному выражению:
/б sign (е^- - ef)] \
¦если учтем, что химическии потенциал р совпадает с гр.
Соотношения (23. 14) для пространственно-однородной системы можно
записать в виде
Im G (р, е) = я -
- А{р, е - р) е > р В.(р, р - е) е<р.
220
функции Л и Б не только действительны, но и положительны. Поэтому мнимая
часть функции Грина меняет знак в точке е = р:
lmG(p, е)<0 е>р, )
(23. 20)
lm G(p, e)>0 е<р. I
В частности, в самой этой точке, предполагая непрерывность
рассматриваемой функции, мы должны положить
lm G (р, р) = 0. (23. 21)
23. 6. Сходным образом проводится исследование парной функции Грина
(20. 1):
G (1, 2, 3, 4) = - (? | Т [фг (1) фг (2) ф+ (4) ф+ (3)] | ?).
Для наших целей достаточно рассмотреть предел
G (1, 2) = lim G (1,2, 3, 4),
4-> 1, 3->2,
74 - tx -> -Г 0,
^3 - ^2 0,
равный
(?|Г[ф+(1)фг(1), ф+(2)фг(2)]|?).
Последующие выкладки подобны проведенным в начале этого параграфа;
разница состоит в замене операторов фг (1), ф+(2)
на комбинации ф+ (1) фг (1) и ф+ (2) фг (2). Введем, как и выше,
полную систему промежуточных состояний ?"; теперь, однако, эти состояния
