Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
т2 . . . >т"), т. е. их временной аргумент монотонно возрастает справа
налево.
9. 3. Сложные пределы интегрирования делают выражение (9. 11)
неудобным. Этот недостаток можно устранить, если ввести понятие о Т-
произведении (хронологическом произведении) операторов.
Чтобы получить Т-произведение из обычного произведения операторов поля,
необходимо переставить последние таким образом, чтобы их временные
аргументы возрастали справа налево. Общий знак выбирается в зависимости
от того, четную или нечетную перестановку операторов приходится при этом
делать. В частности, Т-произведение двух операторов поля /4 (хх), Р2 (х2)
равно *
Хронологическое упорядочение имеет смысл в применении не только к
операторам поля, но и к их комбинациям, содержащим произведение
отнесенных к одному моменту времени операторов поля. Имеется в виду, в
частности, Т-произведение гамильтонианов
которое предполагает, как и выше, расположение операторов Яв' в порядке
возрастания т справа налево. В данном случае, однако, при перестановке
операторов Я' изменения знака не происходит, поскольку Я' содержит
произведение четного числа операторов поля. Поэтому
Т-упорядочение не затрагивает взаимного расположения отнесенных к одному
времени операторов поля, входящих в Яв; это расположение остается
неизменным. Поэтому утверждение о возможности перестановки операторов под
знаком Т-произведения относится лишь к операторам Н'в в целом, но не к их
составным частям.
* Под знаком Г-произведения (как и JV-произведения) можно менять порядок
операторов, выбирая при этом соответствующий общий знак. Как и в случае
JV-произведения, операторы, в конце концов, будут расположены в нужном (в
данном случае хронологическом) порядке.
ИЛИ
Т [F, (х,) F2 (х2)] == 0 (tx - tt) F,F2 - 0 (/2 - /Vv :(9. 12')
T [#; (tx) ... Я; (т")]
T [н'в (ч) Я, (t2)] = 0 (тх - т2) Яв (тх) Яв (т2) + + 0 (т2 - тх) Яв (т2)
Яв (ч).
(9. 12")
92
Теперь в выражении (9. 11) можно сделать замену:
я; к)... я; (т") т [я; ю... я; (raj\.
Если произвести расширение пределов интегрирования до наивысшего значения
t, то полученный интеграл можно представить в виде суммы п\ (по числу
перестановок . . . т") интегралов типа (9. 11), оказывающихся равными
друг другу. Это позволяет написать
t t
Sn (t, t0) = ~г~- j dXy... j dxnT [Яв K)... Яв (т")].
t о t 0
Для иллюстрации рассмотрим член cn = 2:
( t T,
S2 = - | j j dx2HB (тх) Яв (t2) +
^0 to
t t \
+ j dxx J dx2HB (т2) Яв Ю |.
t о T, )
Здесь'мы учли соотношение (9. 12"). Меняя во втором интеграле
t t t Хг
порядок интегрирования § dxt § dx2^ j* dx2 j* dxx и делая за-
tо Ti tо
мену т1ТДт2, убеждаемся, что слагаемые S2 равны друг другу; это
возвращает нас к прежнему выражению (9. 11) с п = 2.
9. 4. В дальнейшем нас будет интересовать 5-матрица, у которой одна
(или обе) из величин t, t0 бесконечна. Речь идет в первую очередь о
собственно 5-матрице S (со, -ос). Подставляя полученное выше выражение
для Sn в выражение (9. 10), можно написать *
оо оо
5 = 2 ^ I dxr • • -drnT [ЯДп)... ЯДт")] -
П-О -00
со
^ Техр - i j dxHB(x) . (9. 13)
Поведение Нв (т) как функции т носит в общем осцилляторный характер.
Поэтому несобственные интегралы в выражении (9. 13) не имеют
определенного предела при стремлении t к со и t0 к -со. Для придания этим
интегралам определенного смысла следует ввести в подынтегральное
выражение в показателе экспоненты
* S-матрица S (оо, -оо) обозначается просто через S.
93
фактор exp (-б|т|) при б -^+0. Иными словами, следует сделать замену
Я; (т) Я! (т) ехр (-6 [ т |), (9.14)
которая в дальнейшем будет подразумеваться. Подчеркнем, что ни одна из
физически наблюдаемых величин не содержит в пределе б -" 0 никаких
неопределенностей.
Используя выражение (9. 14), можно написать окончательно:
S = Т ехр | y | d*xx d4x2 ехр (-б | tx |) X
х N [ф^ (Xj) ф? (х2) V (хи х2) фв (х2) Фв (xx)] J. (9. 15)
Здесь dix = dqdt\ V (хъ х2) = V (qi, q^) б (/г - t2) (запаздывание не
учитывается). Интегрирование производится по всему четырехмерному
пространству.
Помимо оператора 5 (ээ, -ээ) нам придется иметь дело также с оператором S
(0, -со). Соответствующее выражение содержит, очевидно, интегрирование по
времени в пределах от -ао до 0.
9. 5. Найдем соотношение, выражающее закон сохранения энергии на языке
5-матрицы. Убедимся прежде всего в том, что S (t, -оо) может быть
представлена в виде
t
S(i, -со) = 1 -f- J dr exр (iH0r) а х
- оо
X ехр (-г'Я0т) ехр (-б | т |), (9.16)
где а - некоторый не зависящий от т оператор. Для доказательства сравним
величины
/ ~ = i ехр (гЯо0 а ехр (-гЯ^)
и
Яв5 = ехр (iH0t) Я' ехр (-iH0t) х X | j" dr ехр (г'Я0т) сг ехр (гЯ0т - б
| т |) + 1 j.
Делая в последнем выражении замену т t + х, получаем
ехр (iH0t) Я' X
В пределе 8 О здесь можно заменить 6|/ + х\ на б|х|; затухающий множитель
дает вклад только вблизи бесконечных пределов
94
интегрирования. Мы убеждаемся, что оператор в действительно не зависит от
времени, поскольку оно выпадает из сравниваемых выражений.
