Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
величина не зависит от Л и может считаться малой по сравнению с R- Л1/"
(но не с радиусом действия ядерных сил). В дальнейшем ограничимся учетом
членов не выше первого порядка по d/R. Одновременно будем пренебрегать
перекрестными членами типа ed/R, о2d/R и т. д.
Наконец, третьим вариационным параметром является сам радиус
распределения R (или однозначно связанный с ним граничный импульс р0). В
приближений Хартри - Фока энергия как функция R не имеет минимума (см.
раздел 7. 7). Поэтому здесь мы не будем считать R вариационным
параметром, а подставим его эмпирическое значение R ^ 1,1 Л'/з фермы
(соответствующее значение р0 = 1,4 фермы-1). Подстановка выражения (7.
24) в соотношения (7. 12)-(7. 14) с учетом перечисленных выше условий
малости сг и d/R приводит к следующему общему выражению для энергии:
^СИ + Са^ + СзЛ'/з +С4( Л~2г )2. (7.25)
Аналогичный вид имеет полуэмпирическая формула Вейцзек-кера [73, 74 ] без
учета четно-нечетных аномалий. В ней первый член - объемная часть
энергии. В приближении Хартри - Фока она дается соотношением (7. 22).
Эмпирическое значение коэффициента -15 Мэе.
Второй член - кулоновская энергия отталкивания протонов. Пренебрегая
малыми обменной и поверхностной кулоновской энергиями, нетрудно найти
п е2Ро
2 5 (9л)'/з •
Удобно ввести величину
С; = 4С2|1 = С2(1-2а + <т2). (7.26)
А'/>
Тогда второй член выражения (7. 25) примет вид С' -. Наличие в С'
линейного по сг члена является источником асимметрии между протонами и
нейтронами. Эмпирическое значение коэффициента С2 = 0,7 Мэв\ то же
значение дает и приведенная формула.
79
Третий член - поверхностная энергия. Несложное, хотя и громоздкое,
вычисление дает
С3 = Р i-5- + P*4' <7-27)
Pi = - гА у3,
40 (9я) /зМ (а -с)2
о _ 9 о Г 1 40 УИ 5я а2 , .1
40 (9я//з /Иа2 L 9я УИэфф 1 "27" (а - с)2 ^2 (i/)j >
m I 81 I 81 sin 2;/ 27 , 0, cos 2" . " , _йч
ф2(У)-^ + -То-г--1----------------------^ + Т^ + 81~^ + 0^ в)'
где у - ар0. Эмпирическое значение С3 я" 18 Л1эв.
Наконец, последний член выражения (7. 25) отвечает так называемой энергии
симметрии, связанной с неравенством чисел протонов и нейтронов *.
Коэффициент С4, эмпирическое значение которого равно "э24 Мэе, имеет вид
г _ У2 Г 1 2сРо М к а2 .1
4" 6/И а2 [ я Л4эфф + 12 ' (с-с)2 Ч'зО/)] >
(7.28)
Фз (У) = У + -у + sin 2У - ~^ sin2 У-
Численно для принятого значения р0 <р2 (у) = 3,70; <р3 (у) = 5,09; отсюда
нетрудно найти С4 ^ 30 Мэе.
7. 6. Перейдем к нахождению равновесных значений параметров d и о, для
чего проведем варьирование выражения (7. 25) по этим параметрам.
Начнем с энергии симметрии. Часть выражения (7. 25), содержащая параметр
о, имеет, согласно соотношению (7. 26), вид
/ Г Аь
'-'2 Л 5 /_ _ 1 / Л , ^2-^1
? Л*/.а
+ (с4л + ^)(
Вторым членом в коэффициенте при оа можно пренебречь ввиду его малости.
Варьируя это выражение по о, найдем
4 С
г- 0,006Л2/з. (7.29)
Эта величина имеет ярко выраженное кулоновское происхождение. Ее рост с А
объясняется необходимостью компенсации увеличивающихся с ростом А
кулоновских сил. Полученная зависимость в среднем неплохо согласуется с
опытом.
* Появление энергии симметрии связано, в частности, с принципом Паули:
замена всех нуклонов протонами (либо нейтронами) сопровождается
увеличением энергии системы из-за возрастания обменного отталкивания.
80
От параметра d зависит только коэффициент С3. Варьируя выражение (7. 27)
по этому параметру, найдем
d = Л а^2,5 ферми. (7.30)
Эта величина также неплохо согласуется с опытом. Для расстояния, на
котором плотность спадает с 0,9 до 0,1 своего максимального значения,
опыт дает величину около 2,4 ферми. Расчетное значение для этого
расстояния, полученное из соотношений (7. 24) и (7. 30), составляет 2,0
ферми *. Таким образом, рассматриваемая теория объясняет не только
независимость d от массового числа, но и величину этого параметра.
Подстановка выражения (7. 30) в (7. 27) позволяет определить значение
константы С3. Это значение оказывается заметно завышенным по сравнению с
опытом, что объясняется сильным влиянием не учтенных эффектов
динамической корреляции.
В поверхностной области ядра роль квантовых эффектов в принципе могла бы
быть значительной, однако в численном отношении вклад этих эффектов
оказывается малым. Оценивая
1 Г (\7о)2
с помощью выражения (7. 24) величину -j2M J ^см'
соотношение (5. 23)] **, нетрудно видеть, что вклад квантовой поправки в
С3 составляет всего около 1 Мэв\ аналогично мало меняется и величина d.
Таким образом, целый ряд характеристик атомного ядра может быть получен
уже в приближении Хартри - Фока. Однако для других характеристик эффекты
силовой корреляции имеют определяющее значение (см. § 18).
7. 7. Попытка рассматривать радиус ядра R как вариационный параметр в
приближении Хартри - Фока к успеху не приводит. Действительно, при малых
R (или больших р0) выражение (7. 22) имеет вид
Е pi Д-а
и неограниченно растет по абсолютной величине с уменьшением R Таким
