Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Задачи топологии инициировали создание методов вычисления когомологий алгебр Хоцфа, но не давали естественных примеров алгебр Хопфа, которые ни коммутативны, ни кокоммутативны. Такие примеры появились уже вне топологии, когда к развитию теории алгебр Хопфа подключились чистые алгебраисты, специалисты по алгебрам фон Неймана. Общий метод построения некоммутативных некокомму-тативных алгебр Хопфа появился только в работах В. Г. Дринфельда и был инициирован КМОЗ. Отметим, что в книге дано построение таких алгебр Хопфа, использующее конструкции, появившиеся ранее у алгебраистов.
Интересно отметить, что под влиянием конструкции дублей Дринфельда С. П. Новиков на основе структуры, моделируемой алгеброй когомологических операций в кобордизмах, ввел так называемые операторные дубли. В это же время появились аналогичные алгебры в школе JI. Д. Фаддеева под названием гейзенберговы дубли.
Вообще необходимо подчеркнуть, что популярность квантовых групп сильно подстегнула развитие собственно теории алгебр Хопфа и ее приложений. Например, активизировались исследования алгебр Хопфа, естественно возникающих в комбинаторике. Предисловие редактора перевода
XVII
Возвращаясь к содержанию монографии, обратим внимание на технику графического исчисления, использующую диаграммы узлов и зацеплений. Эта техника уже позволила получить важные результаты и оценивается ведущими экспертами как перспективная (см., например, [11]). Овладение этой техникой требует достаточных усилий, но в настоящее время уже имеется ряд фундаментальных научных работ и даже монографий, в которых эта техника стала основной при формулировке и, главное, доказательстве результатов. В связи с этим хотелось бы напомнить, что особенно в 60-х годах техника точных последовательностей и диаграммного поиска сыграла важную роль в решении задач алгебраической топологии и гомологической алгебры того времени.
В заключение хочу отметить, что автор в основном выполнил очень трудную задачу, которую ставил перед собой: изложить для максимально широкой аудитории алгебраические основы теории квантовых групп и познакомить с ее замечательными приложениями, которые опираются как на классические, так и на самые современные достижения математики.
Я с удовольствием выражаю благодарность автору за конструктивное сотрудничество в ходе подготовки этого издания его книги.
Москва, февраль 1999 г.
В. М. Бухштабер Предисловие к русскому изданию
В 1970-е годы, когда я был начинающим математиком, мои учителя внушили мне чувство глубокого уважения к российской математической школе. Нас научили высоко ценить непревзойденную творческую мощь и замечательные достижения советских математиков. Поскольку у них были проблемы с выездом за рубеж и публикацией в иностранных журналах, многие из нас овладели русским настолько, чтобы иметь возможность ознакомиться с новыми результатами, опубликованными на этом языке. Арнольд, Гельфанд, Манин, Новиков — лишь некоторые из тех имен, которые на Западе произносились с величайшим почтением, и мы всегда были рады, когда удавалось непосредственно пообщаться с математиками, живущими за «железным занавесом». Таковы были наши чувства в то время, и поэтому сегодня я считаю для себя большой честью, что моя книга о квантовых группах переведена на русский язык.
Политические и экономические перемены в СССР, приведшие к его распаду, имели серьезные последствия и для советской математической школы; целый ряд выдающихся математиков покинул страну. Но и сегодня, несмотря на многочисленные трудности, российское математическое сообщество делает все возможное, чтобы сохранить свой прежний научный уровень и остаться одним из ведущих мировых центров математических исследований. Большинство основателей теории квантовых групп выросло в научных школах Советского Союза. Нет сомнений в том, что и в дальнейшем многие фундаментальные достижения в этой области будут приходить отсюда.
Настоящая книга представляет собой перевод на русский язык одноименной книги, опубликованной в 1995 году на английском языке издательством Springer-Verlag (New York). Русское издание осуществлено под научной редакцией профессора В. М. Бухштабера, а перевод выполнил И. А. Дынников. Я глубоко признателен им за превосходно проделанную работу над моей книгой и за чрезвычайно приятное сотрудничество.
В настоящем издании исправлен ряд ошибок, допущенных в исходной версии. Большинство из них были обнаружены переводчиком, за Предисловие к русскому изданию
XIX
что я выражаю ему отдельную благодарность. Я также благодарю Жюльена Бишона, Франсуа Гуашо, Фридриха Кнопа, Иенса Либерума, Клодину Мичи, Кристофа Ройтенауэра, Генрика Тиса, Таню Хованову и Каролу Экштейн, которые обратили мое внимание на ряд неточностей и опечаток. Помимо этих исправлений и списка литературы, добавленного редактором перевода, это издание ничем не отличается от английского.
Страсбург, 23 февраля 1999 г.
Кристиан Кассель Предисловие
«Eh bien, Monsieur, que pensez-vous des x et des y?»
Je Iui ai repondu: «C'est bas de plafond.»
