Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
k[X] <g> к [У] = к[Х ж У].
Доказательство. Требуемый изоморфизм задается в базисе {х <8 ® У}(х,у)еХхУ тензорного произведения к[Х] <8к[У] по формуле
ф(х®у) = (х,у). (1.12) 3.1. Коалгебры
55
Очевидно, что
(ф ® ф)(id ® T ® id)(А ® А)(х®у) - (х,у) ® (х, у) = Аф(х®у)
и єф(х ® у) = 1 = є(х)є(у). Это означает, что ф является гомоморфизмом коалгебр. ?
Нам также потребуется следующее понятие.
Определение 3.1.5. Пусть (С, А, є) —некоторая коалгебра. Подпространство IbC называется коидеалом, если A(I) С 1®С + С®1л е{1) = 0.
Если I — коидеал, то А факторизуется до отображения А из С/1 в
(С ® С)/{1 ®С + С®1) = (С/1) ® {С/1).
Аналогично, коединица є факторизуется до отображения є: С/1 —> к. Очевидно, что тогда тройка (С//, А, є) есть коалгебра. Она называется фактор-коалгеброй. Соответствующие примеры мы приведем позднее.
Обозначение 3.1.6. Сейчас мы введем сигма-обозначения Свидлера, которые будем постоянно использовать в дальнейшем. Если х — элемент коалгебры (С, А, є), то элемент Д(ж) имеет вид
A{x) = Y,<®<- (1-13)
і
Чтобы избавиться от индексов, мы далее условимся писать сумму (1.13) в виде
А{х) = ^x' ®х". (1.14)
(X)
Используя (1.14), мы можем выразить свойство коассоциативности отображения А, то есть коммутативность диаграммы (1.5), следующим образом:
® (*'>") ® = ху ® ® (*")")¦ (1-15)
(х) (х') (х) (х") 56
Глава 3. Язык алгебр Хопфа
Снова договоримся записывать обе части равенства (1.15) как
^х'®х"®х"', (1.16) (s)
а также как ir^ ® x^ ® ir^- Применяя коумножение к (1.16), мы получаем следующие три равных выражения:
Yl х> ® ® Е1'®1"®^1'")'
(!) (X) (х)
которые мы условимся записывать в виде
®х" ®х'" ®х"" (1.17)
(х)
или ir^ ® x^ ®х^ Вообще, пусть отображения Д("): С —>
—определены по индукции для п ^ 1 равенствами A^1) = А и
Д(") = (Д ® idce(„_i,) о Д("-!) = (Idc8tn-D ® А) о А(п-1). (1.18)
Тогда по нашему соглашению мы пишем
AWW = ^!'1»®...®^+1» (1.19)
(х)
Эти соглашения и коассоциативность Д означают, например, что (idc ® A ® idc®2) (^2 х{1) ® х{2) ® х{3) ® l(4)) =
(х)
= Ylz(1) ® х{2) ® 2(3) ® Х(4) ® z(5). (1.20)
(X)
Используя запись (1.14), аксиому коединицы (1.6) можно переформулировать следующим образом:
Yl е{х')х" = X = Yl х'є(х"ї (1-21)
(х) (х)
для любого X Є С. Как следствие (1.21) и (1.19), мы получаем такие равенства, как
YlxW ® є(*(2)) ® *(3) ® *(4) ® х(5) = YlxW ® s(2) ® х(3) ® х^. (1.22)
(х) (X) 3.1. Коалгебры
57
Действительно, левая часть может быть переписана в виде
E ® (є ® id)(A(x(2))) ® я(3) ® я(4).
(х)
Затем нужно применить (1.21).
Коалгебра С кокоммутативна, если
ХУ®*" = y,x"®x' (1-23)
(х) (X)
для всех x є С.
Левое из равенств (1.8), определяющих гомоморфизм коалгебр, можно переформулировать так:
E /(1') ® /(*") = E № ® (1-24)
(*) U(X))
Коумножение на тензорном произведении С ® С" коалгебр С и С" (см. пример 5) задается для х Є С и у Є С' по формуле
А(х ® у) = E {х®уУ у)" = Е^'® ® (х" ® (1'25)
(х®у) (х)(у)
Мы рекомендуем читателю потренироваться с использованием сигма-обозначений Свидлера, чтобы привыкнуть к этой, очень удобной форме записи.
3.2. Биалгебры
Пусть H — векторное пространство, снабженное структурами как алгебры (H,?,rf), так и коалгебры (Я, А,є). Обсудим вопрос согласованности этих двух структур. Зададим на H ® H структуры тензорного произведения алгебр (см. параграф 2.4) и тензорного произведения коалгебр (см. параграф 1, пример 5).
Теорема 3.2.1. Следующие два утверждения равносильны.
(i) Отображения ? и г) являются гомоморфизмами коалгебр.
(ii) Отображения А и є являются гомоморфизмами алгебр. 58
Глава 3. Язык алгебр Хопфа
Доказательство. Оно состоит по существу в выписывании коммутативных диаграмм, выражающих оба утверждения. Тот факт, что ц есть гомоморфизм коалгебр, равносилен коммутативности следующих двух квадратов:
H ® H
H
(id®T<g>id)(A<g>A)
(.Н®Н)®(Н®Н)
> н®н
н®н
я
» k®k id k
в то время как тот факт, что г) является гомоморфизмом коалгебр, выражается условием коммутативности диаграмм
к id k® к
H
-> Я
> н®н
Заметим, что эти четыре диаграммы в точности совпадают со следующими четырьмя диаграммами, коммутативность которых выражает условие, что А и є являются гомоморфизмами алгебр:
Н®Н
H
д®д
» (Н®Н)®{Н®Н) к
(/i®/j)(id<g>T<g>id) id
H ® H к ® к
Я
Tl® Tf
» н®н
н®н
? H
> к ® к
id
к
H
?
Это приводит нас к следующему определению.
Определение 3.2.2. Биалгеброй называется пятерка (Я, /и, г), А, є), где (Н,ц,т]) есть алгебра, а (Я, А, є) — коалгебра, причем выполняются равносильные условия из теоремы 2.1. Гомоморфизмом биалгебр 3.2. Биалгебры
59
называется отображение, которое является гомоморфизмом соответствующих алгебр и коалгебр.
В дальнейшем для определения биалгебры мы в основном будем пользоваться условием (ii) теоремы 2.1. Легко видеть, что для любой пары (х,у) элементов биалгебры условие Д(жу) = А(х)Д(у) в обозначениях 1.6 (с. 55) выражается формулой
