Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Мы укажем характеристическое свойство сплетенных квазибиал-гебр (называемых в литературе также квазитреугольными квазибиал-гебрами) так же, как мы сделали это для квазибиалгебр в предложении 1.2.
Предложение 15.2.2. (а) Квазибиалгебра (А, А, є, Ф, I, г) является сплетенной тогда и только тогда, когда в А® А имеется обратимый элемент R, называемый универсальной R-матрицей, такой, что для всех а ? А имеют место равенства
Дор(а) = RA(O)R-1, (2.1)
(id <g> Д)(Д) = (ФззіГ^ізФгізД^ФшГ1 (2.2)
и
(А Q id){R) = Ф312Й13(Ф132)_1Й23Ф123- (2.3)
(б) Кроме того, тензорная категория A-Mod является симметрической тогда и только тогда, когда соотношения (2.1)-(2.3) выполняются вместе с дополнительным соотношением
R2I=R'1. (2.4)
Как и в параграфе 1, мы будем рассматривать R как часть структуры сплетенной квазибиалгебры и писать (А, А, е, Ф, Z, г, R).
Доказательство. Будем действовать, как в доказательствах предложения 1.2 и предложения 13.1.4. Сначала для данной сплетенной квазибиалгебры А с универсальной Д-матрицей R зададим сплетение на тензорной категории A-Mod по формуле
Cv,w(v qw) = tv,w(R(v q w)),
(2.5) 462
Глава 15. Квазибиалгебры
где v и w принадлежат А-модулям V и W соответственно. Как и в доказательстве предложения 8.3.1, соотношение (2.1) означает, что отображение су,W является А-линейным, а соотношения (2.2), (2.3) влекут выполнение аксиомы шестиугольника (13.1.3), (13.1.4).
Обратно, если категория A-Mod сплетенная относительно с, то положим
r = ta,a{ca,a( IOl)). (2.6)
Из естественности сплетения следует, что для любой пары V, W данных А-модулей сплетение су,W имеет вид (2.5). Из А-линейности отображения Ca,а мы получаем, что Aop(a)R = RA(a) для всех а є А, что эквивалентно соотношению (2.1). Коммутативность шестиугольников (Hl) и (Н2) из параграфа 13.1 влечет выполнение соотношений (2.2) и (2.3), что получается простым вычислением с использованием (2.5).
Согласно определению категория A-Mod симметрическая, если для всех V и W выполнено соотношение (13.1.13): cwycy,w = idy®w- Но
cw,vсу,w {v <8>w) = (R2\R)(v <S> w).
Следовательно, наша категория симметрическая тогда и только тогда, когда R21R = 1, то есть когда R2\ обратно к R. ?
Следствие 15.2.3. В сплетенной квазибиалгебре универсальная R-матрица удовлетворяет соотношению
132) #23^123 = Ф321Я23(Ф231) -Rl3$213-Rl2-
Доказательство. Этот аналог утверждения (а) теоремы 8.2.4 следует из (1.9), (2.5) и теоремы 13.1.3. ?
Позднее нам понадобится следующее определение: гомоморфизмом сплетенных квазибиалгебр
а: (А, А, є, Ф, I, г, R) (A', А', є', Ф', Г, г', R')
называется морфизм соответствующих квазибиалгебр такой, что
(а<8>а)(Д) =R'. (2.7) 15.3. Калибровочные преобразования
463
15.3. Калибровочные преобразования
Для простоты в дальнейшем будем считать, что все рассматриваемые квазибиалгебры (А, А, е, Ф, I, г) удовлетворяют условию / = г = 1. Другими словами, условия единиц в категории A-Mod будут такие же, как в Vect(k). Поэтому мы будем опускать все ссылки на I и г.
Цель этого параграфа — ввести отношение эквивалентности квазибиалгебр таким образом, чтобы категории модулей над эквивалентными квазибиалгебрами были тензорно эквивалентны.
Определение 15.3.1. Пусть А = (Л, А, є, Ф) — квазибиалгебра. Калибровочным преобразованием на Л называется обратимый элемент F алгебры Л О Л такой, что
(EOid)(F) = (IdOe)(F) = L (3.1)
С помощью калибровочного преобразования F на Л можно построить новую квазибиалгебру Af следующим образом. Зададим гомоморфизм алгебр Af '¦ А —> Л О Л формулой
A F(a) = FA(a)F_1 (3.2)
для произвольного а Є Л и новый ассоциатор Дринфельда Фр формулой
ФР = F23(id О Д)^)Ф(Д О id)(F"1)Ff21 Є Л О Л О Л. (3.3)
Предложение 15.3.2. Для любой квазибиалгебры А = (Л, А, є, Ф) и произвольного калибровочного преобразования F Є Л О Л на А алгебра Ap = (Л, Af, є, Ф^) является квазибиалгебр ой.
Заметим, что если Л оказалась биалгеброй (то есть имеет место равенство Ф = 1), то Af, вообще говоря, не является биалгеброй. Таким образом, согласно предложению 3.2 мы имеем метод, который позволяет найти нетривиальные примеры квазибиалгебр.
Доказательство. Мы должны проверить соотношения (1.1)-(1.4) для Af. 464
Глава 15. Квазибиалгебры
Соотношение (1.1). Мы имеем
(id® Af)(Af(o))$f =
= F23(id ® A)(FA(a)F-1)F2-31F23(id ® Д)^)Ф(Д ® id)(F"1)Ff21 = = F23(id ® A)(F)(id ® Д)(Д(а))Ф(Д ® id)^"1)^1 = = F23(id ® Д)(ЛФ(Д ® id)(A(o))(A ® id)(F-1)Ff21 = = F23(id ® Д)(^)Ф(Д <8 id)(F"1)F1^1Fi2(A ® id) (FAta)F'1) Ff21 = = Фр{Ар ® id)(AF(a)).
Первое и последнее равенства следуют из определения, третье — из соотношения (1.1), второе и четвертое — из того, что Д — гомоморфизм алгебр.
Соотношение (1.2). Для всех а Є А мы имеем
(є® id )(AF(a)) = (є ® id) (F) ((є ® id)(A(a)))(e ® id)(F_1) = а,
что следует из аксиомы ко единицы и соотношения (3.1). Аналогично мы получаем (id ® є)Ap = id^.
Соотношение (1.3). Нам нужно проверить соотношение пятиугольника
(id ® id ® Af)($f) (Af ® id ® id)^F) =
