Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
Таблица Al
Четыре типа элементов и операций симметрии, требуемых для конкретизации симметрии молекул
Элементы симметрий
Операции симметрии
1. Плоскость (а)
2. Центр симметрии (/)
3. Собственная ось (Cn)
4. Несобственная ось (Sn)
Cn1Cn-
-CnCn
-1.
Ci =¦ Et
Cnah = aItCn — Sn,
avah = U2'
/ = /-1,
Отражение в плоскости Инверсия всех атомов относительно центра
Один или более поворотов вокруг оси с порядка п Одно или более повторений последовательности преобразований: поворот с последующим отражением в плоскости, перпендикулярной оси с порядка п
Cn-
.E, O2=-E,
Sln = E, C2Oh = 1. Iah =» C2,
Cpn'
о2я+1 .
2/1+1 ¦
I2 = Et
ICn
-CnI.
*) Детальный анализ проблемы квантовых неразрушающих измерений содержится в работах [195—1981 (см. также статью Унру в сборнике [180], с. 385). — Прим. перев.
7. Поиск гравитационных волн
385
ДІенфлиса a, /, Cn и Sn и система основных соотношений, которые представляют собой аналитические утверждения относительно различных геометрических свойств, связанных с определениями этих операций.
Напомним, что Cn обозначает как элемент симметрии «вращение вокруг оси порядка п», так и соответствующую операцию симметрии, т. е. вращение на угол 2п/п вокруг оси с. Путем п-кратного повторения операции Cn получается тождественная операция E: Crt = Е. Вообще E представляет любую комбинацию операций, которая переводит молекулу в первоначальную конфигурацию.
А.2. Классификация точечных групп [144]
А. Группы поворотов
I. Простейший возможный тип симметрии состоит из единственной n-кратной оси с, которая является односторонней. Соответствующая группа операций называется циклической группой и обозначается Crt = (Cn).
II. Группу поворотов более высокого порядка симметрии получаем, добавляя к n-кратной оси с перпендикулярную к ней двукратную (п = 2) ось и(1). Можно доказать, что отсюда следует наличие п двукратных осей и(1\ а(2), ..., и^п\ перпендикулярных с; угол между двумя смежными осями, разумеется, равен п/п. Соответствующие группы операций называются диэдри-ческими группами и обозначаются D„ = {C„, U2). Важным частным случаем является группа D2, обычно называемая группой Вивера и обозначаемая V. Соответствующая ей система трех взаимно перпендикулярных двукратных осей тождественна с декартовой системой координат.
III. Тетраэдрическая группа T есть группа операций совмещения правильного тетраэдра. Она может быть получена из группы Вивера путем добавления системы эквивалентных трехкратных осей, которые делают три двукратные оси эквивалентными: T = {V, C3).
Другими группами чистых поворотов являются октаэдральная группа О (IV) и икосаэдрическая группа P (V).
Б. Группы второго типа
Они получаются добавлением надлежащего отражения к группам поворотов, кратко описанным выше. В предположении, что главная я-кратная ось вертикальна, h будет обозначать горизонтальную, а V — вертикальную плоскость. Добавление любого из этих элементов к группе поворотов будет обозначаться
13 Зак. 203
386
Э. Амальди, Г. Пиццелла
добавлением индексов h или v к символу группы. Группы второго типа следующие:
VI. Циклическая группа Cnh по определению есть
СяЛ={Ся» Gfi)*
Группа Cih иногда обозначается как Cs.
VII. Циклическая группа Cnv содержит п вертикальных плоскостей симметрии. Соответствующие операции включают п поворотов и п отражений.
VIII. Группы Sn являются группами операций, единственным элементом симметрии которых является несобственная гс-кратная ось Sn = {Sn}. Путем записи Sn= CnOh можно показать, что для определенных значений п группы Sn совпадают с более простыми группами симметрии. Это, однако, не имеет места для S4p-
IX. Диэдрические группы Dnh получаются добавлением горизонтальной плоскости к диэдрической группе поворотов:
^nh =
Gh). Наличие этой плоскости влечет за собой наличие п вертикальных плоскостей, проходящих через двукратные оси.
X. Диэдрические группы Dnd получаются добавлением к Dn вертикальной плоскости, которая делит пополам угол между двумя двукратными осями. Эта плоскость обозначается d (diagonal). Одна плоскость такого типа влечет за собой еще (п—1) плоскостей.
Вторичными типами групп являются тетраэдрическая группа Td = {Vd, C3) (XI), где Vd = D2d; группа Tft=(Vft, C3) (XII); октаэдрическая группа О* = {О, h} (XIII); икосаэдрическая группа Pft = {Р, h} (XIV).
В дополнение к конечным группам, перечисленным выше, следует рассмотреть три бесконечные (или непрерывные) группы: Coot,, D00 и Dooftl аналогичные Cnv, D„ и Dnh. В частности, C00 является группой поворотов вокруг оси с на произвольный угол ф.
Отметим несколько частных случаев групп: Ci — отсутствие симметрии, Cs=Cift- ПЛОСКОСТЬ симметрии, Si = I—центр симметрии.
А.З. Обозначения собственных мод [171]
Невырожденные собственные моды обозначаются буквами А и В, двукратно вырожденные собственные состояния — буквой Е, трехкратно вырожденные — буквой F, ... (см. нижнюю часть табл. А.2). AnB различают собственные моды, которые являются соответственно симметричной или антисимметричной относительно генерирующей операции Cn в группах Dn или от-
