Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
рица, комплексно-сопряженная с Z*/, a L — индукция эквивалентной схемы (рис. 4.14), соответствующая массе Mm механической модели, изображенной на рис. 4.15. Уравнение (9.5) показывает, что согласование может быть осуществлено несколькими способами. Однако для достижения оптимального согласования нежелательно использовать большое время выделения сигнала At. В наиболее интересном случае усилителя, ограниченного лишь квантовыми эффектами, должно выполняться неравенство
чтобы обеспечить требуемое соотношение между двумя членами в уравнении (9.1). Если может быть создан широкополосный датчик, который дает At ж Tg ж 1 мс, то мы должны получить T/Q ^ 0,04 мкК. Это условие не согласуется с весьма жесткими требованиями к криогенному оборудованию, поскольку значения Q, превышающие IO6, могут быть получены с обычными материалами.
Если нельзя достичь оптимального согласования при времени выделения сигнала, для которого можно пренебречь броуновским шумом болванки, то в общем случае будет существовать некоторое значение времени выделения сигнала, для которого полный шум сводится к минимуму. Этой точки зрения мы придерживались в разд. 7 и 8.1.
Перейдем теперь к обсуждению нижнего предела для первого члена в (9.1). Начнем с замечания Брагинского [31], что энергия, сообщаемая или извлекаемая в результате действия импульса гравитационных волн из макроскопического механического осциллятора, представляющего избранную колебательную моду болванки, дается выражением
(9.5)
Л? = г|/(2 At/x0) kT
где \|/ — статистический множитель, зависящий от принятого доверительного предела, который мы налагаем на изменение амплитуды относительно ее среднеквадратичных вариаций,
380
Э. Амальди, Г. Пиццелла
обусловленных чисто броуновским движением. Любая попытка уменьшить первый член в (9.1) приводит к уменьшению поэтому достигаются условия, при которых проявляется квантовая структура уровней осциллятора:
En = Av0 (п + V2). (9.6)
Переход от классического к квантовому поведению имеет место, когда наиболее вероятное значение <п> квантового числа п равно не слишком большому целому числу. Это значение получается путем приравнивания выражения (9.6) средней энергии гармонического осциллятора при температуре T:
Wn) = ehvikT _ J • (9*7)
т. е.
= gftv/fcr _ j T' (9.8а)
Например, для 71 = I К и Vo = 1600 Гц мы получаем
<п>~|^ = 2,08- IO10^= 1,3- IO7, (9.86)
откуда следует, что наиболее совершенные антенны, введение которых в действие предполагается в ближайшем будущем, имеют классическое поведение. Квантовая структура их уровней (9.6) начнет проявляться при достижении температуры порядка IO-3— 10~4 К и ниже. Однако уже вблизи I К поведение осциллятора удобно описывать в квантовых понятиях и говорить, что осциллятор совершает «случайные блуждания» вблизи его средней энергии (9.7) со средним интервалом 8t между двумя последовательными однофононными переходами (\п =
— ±1), определяемым выражением 1J
Полагая Q = 2- IO6, Vo= 1600 Гц (т0 = 200 с) при температуре 1 К, мы получаем 8/=IO-13 с, так что значение энергии осциллятора будет непрерывно «блуждать» около его средней энергии kT. Однако, если мы перейдем в область температур порядка милликельвинов (или ниже) со значительно большими значениями Q (~1013), интервал 8t возрастает до ~1 с, т. е«
!) Выражение (9.9) было выведено Г. Иакуччи исходя из формулы (433) статьи Чандрасекхара [441. Однако это выражение справедливо для времен /, много больших, чем 6/. Численная проверка, произведенная Иакуччи, показывает, что для / ~ 56/ (206/) скорость достижения равноЬесия все еще отличается на 10% (1%) от получаемой из (9.9).
7. Поиск гравитационных волн
381
до значения, сравнимого или даже большего, чем время выделения сигнала At.
Если осциллятор характеризуется координатой %(t) и канонически сопряженным импульсом p(t)=mi(t), то принцип неопределенности утверждает, что эти две переменные могут быть измерены одновременно только с точностью
AlAp^h. (9.10)
Обычный подход состоит в попытке измерения обеих переменных с приблизительно равной относительной точностью путем контролирования x(t) в течение одного или более периодов. Эти условия соответствуют неопределенности в квантовом числе Дп ^ (п + 1U)1/а. Такой предел впервые получен Брагинским [31] на оптическом уровне для координатного датчика Фабри — Перо и позднее Джиффардом [74] для любой измерительной системы, выходное напряжение К(<) которой является линейной функцией от l(t). Обобщение на произвольную систему, имеющее целью измерить обе сопряженные переменные, было дано Торном, Древером, Кэйвсом, Циммерманом и Сандбергом [151].
Брагинский [31] отметил, что эти квантовые ограничения на Ag, Ap и An создают серьезные препятствия для детектирования гравитационных волн, которые хорошо иллюстрируются следующим замечанием [149]. Чтобы наблюдать по крайней мере три взрыва сверхновых за год, мы должны достичь скопления галактик в Деве. Ho гравитационные волны, приходящие с такого расстояния, будут давать смещение
