Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
А(IV А(IV Ч- V Ч- о,, н
или
^nv Ч- V Ч- Ov. ц, ЛцуО , а, (2.7а)
где Уц — четыре произвольные функции, достаточно малые, чтобы оставить В силе соотношение I ZillV I ¦С 1, для которых выполняются условия
Рй.аа = 0. (2.76)
Надлежащим выбором V11 (ц = 0, 1, 2, 3) компоненты Ziliv могут всегда быть сведены к двум независимым, соответствующим двум степеням свободы, т. е. двум состояниям поляризации. Мы вернемся к этому вопросу при обсуждении монохроматических плоских волн и их поляризации.
248
9. Амальди, Г. Пиццелла
2.1. Распространение гравитационных волн в вакууме
Уравнения, описывающие гравитацию в пустом пространстве-времени, получаются из уравнений (2.5), если положить Tvy = 0. Мы получаем
? Rliv = 0, (2.8)
т. е. обычные уравнения распространения с дополнительными условиями (2.4). Простейшими решениями являются монохроматические плоские волны
— Re Mnv exp Ofc0Xe)], (2.9)
которые удовлетворяют уравнениям (2.5), если волновой вектор удовлетворяет условию
Ma = O,
т. е. ka должен быть светоподобным вектором, так что, как и в случае электромагнитного поля 1J,
CD == feo = (kx + kl + kl) /з,
и волны распространяются со скоростью с в направлении (&*,
ky, kz) /&()•
Условия Лоренца (2.4) после подстановки (2.9) в (2.4) для случая монохроматических плоских волн принимают вид
A^ka = 0, (2.10)
т. е. они дают четыре условия ортогональности между ka и Aliai которые, как мы видели в предыдущем разделе, сводят число независимых компонент Iivty к шести.
Для случая монохроматических плоских волн, если рассматривать Vil как компоненты плоской волны амплитуды Vvlj по-
стоянной во всем пространстве-времени, условия (2.7) принимают вид
V V + k^Vv + kvV» - ^kaVa. (2.11)
При надлежащем выборе Vil для любой фурье-компоненты, а поэтому и для всех Hyjy 2) можно получить
Ацо = 0, Rkk = 0. (2.12а)
1) Эта связь между энергией и импульсом типична для частиц с нулевой массой покоя, таких, как фотоны и гравитоны, т. е. кванты электромагнитного и гравитационного полей.
2) Отметим, что четыре условия ИцО = 0 вместе с ц = 0 приводят к трем независимым условиям ('h^ =* О) вместо четырех независимых соотношений (2.4). Таким образом, число налагаемых уравнениями (2.4) и (2.12а) связей равно восьми,
7. Поиск гравитационных волн
249
Это дает
и, согласно (2.26),
А = 0,
AprV Aj|V.
Уравнения (2.12а) сводятся к
A1
Iio — 0» hkk = 0.
(2.126)
(2.12в)
(2.13а)
(2.136)
Уравнение (2.13а) подразумевает, что только пространственные компоненты AjjlV отличны от нуля, а уравнение (2.136)—что пространственные компоненты обладают нулевым следом. Путем такого выбора мы определили поперечную калибровку со следом, равным нулю (ТТ-калибровку) [108], которая является наиболее удобной калибровкой для исследования распространения волн в вакууме.
В ЭТОЙ калибровке тензор Ajv имеет только две независимые компоненты, а пространственно-временные компоненты тензора кривизны, или тензора Римана,
R IOkO = Rojok = — RjOOk — — Rojko
имеют особенно простой вид
г, __.ilJT_________________1 d‘h
a/ofeo 2 00 2с2 dt2
|2а7Т
Ik
1
TT
(2.14)
Поскольку тензор кривизны калибровочно инвариантен, из (2.14) следует, что число компонент Ajav не может быть уменьшено до меньшего числа, чем их имеется при ТТ-калибровке. При дополнительном предположении, что волна распростра-
няется вдоль направления х, тензор Ajv сводится к
итт
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 hyy hyz
0 0 Кг - ~hvv
Л)
о
уг
^yz
и плоская волна (2.9) расщепляется на две компоненты
h+== Re { А+ехр [—гоа , (2.15а)
hx = Re j Ахехр[— га>(/ — 7)]}. (2.156)
250
Э. Амальди, Г. Пиццелла
соответствующие двум поперечным независимым состояниям поляризации с амплитудами
где А+, Ax—скаляры а е+, ех — тензоры второго ранга:
определяющие поляризацию согласно изложенному в разд. 2.3. Наиболее общая плоская гравитационная волна, распространяющаяся в направлении х, всегда может быть выражена как линейная комбинация этих двух состояний с ортогональной поляризацией (или двух других состояний, эквивалентных им).
2.2. Геодезическое отклонение свободно падающих пробных частиц и колебания механических пробных осцилляторов, вызванные гравитационными волнами
Перейдем теперь к обсуждению эффектов, вызываемых действием гравитационных волн на пробные частицы, находящиеся в области их распространения. Два случая заслуживают специального рассмотрения, поскольку они соответствуют двум возможным классам детекторов: случай двух свободно падающих пробных частиц и случай двух пробных частиц, взаимодействующих посредством негравитационных (например, упругих) сил, так что они образуют механический осциллятор.
Как мы выясним ниже, в общем случае волновая часть Aliv метрического тензора гравитационной волны вызывает колеба* ния расстояния между двумя пробными частицами.
Обозначим через А к В две частицы (рис. 2.1) и предположим, что до прихода гравитационной волны расстояние между ними очень мало.
