Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Это условие означает, что на поверхности абсолютно жесткого препятствия нормальная составляющая скорости обращается в нуль. Дальнейшее решение задач сводится к представлению потенциалов падающих и рассеянных волн в виде разложений в ряды по одинаковым функциям, удовлетворяющим волновым уравнениям и условиям излучения, подстановке этих потенциалов в граничное условие (1) и нахождению неизвестных коэффициентов. Вычисления полей при дифракции цилиндрической волны на цилиндре и сфере не представляют
(і)
204 СРЕДНЕЕ ДАВЛЕНИЕ И ДИФРАКЦИЯ HA ПРЕПЯТСТВИИ [VJl, Ь
I
трудностей и подробно изложены в работах [54, 551. При этом потенциалы рассеянных волн Фр имеют следующий вид: при дифракции цилиндрической волны на цилиндре
0P = I^S v»a™h (-ац)х
OO
X 2 8Л (<*m) Н{п (kr) cos /іф . h (- Yn) sin Yn; (2)
n=0
при дифракции цилиндрической волны на сфере
—. OO
§ v0amh (- ат) 2 Г (2п -|- 1) h (- On) sin 8^n (kr) X
71=0
п
В этих выражениях ^n=(ka) и 8n=8n(ka) — фазовые углы при рассеянии звуковой волны цилиндром, Sn (ат) = sin пат/пат9 Pn (cos G) — ирисоединеиные функции Лежандра, h (х) = exp (ix), Нпх) (kr)— функции Хан-келя. При дифракции сферической волны на сфере, точно так же как при выводе формулы (2), в работе [56] получено выражение
OO
Фр = — IVof h (kf) 2 С &>n+l,n-i (COS (X)7n) X
ПХ h (- On) sin 8nPn (cos O)0) (P)f (4)
где t?n+\, n-i (cos (Dm) — разность полиномов Лежандра (n + 1) -го и (п — 1) -го порядков, ^n1* (р) — сферическая функция Ханкеля. На больших расстояниях от препятствия, когда kr ^ 1, в формулах (2) — (4) функции Ханкеля (обычные и сферические) заменим их асимптотическими представлениями. Поскольку при kr > 1 небольшие участки рассеянной волны можно рассматривать как плоские, вычислим интенсивность этой волны по формуле Ip = <(pf}lp0c*). Рассмотрим пре-
*) Здесь скобки <> означают усреднение по времени т за пе* риод Т.
§ b.2 ДИФРАКЦИЯ СХОДЯЩИХСЯ B(VJH НА ПРЕПЯТСТВИИ
пятствия малого радиуса, когда ka <^>4. н справедливы приближенные выражения Y0 (Щ ж п (?o/2)2, yx(ka) ^
^w(a)2' М*я)«^. бі«—б0. Тогда в выражении для /р можно ограничиться двумя членами ряда, в результате чего получим [132]
/о я2н' \ Г /
X (*' ~ I) cosсо^(к) (<оте)]». (5)
Интенсивность /р^ко имеет два индекса, причем индекс X относится к типу волны, ах' — к типу препятствия. В дальнейшем для наглядности записи наряду с цифровыми индексами мы будем использовать и буквенные: п — плоская волна, ц—цилиндрическая волна (х=—1/2), с — сферическая волна (х=0); ц'— цилиндрическое препятствие (W=—1/2), с' — сферическое препятствие (^'=0). Значения Kp и F(H) (o)m) приведены ниже:
Волна
плоская цилиндрическая сферическая
1 2kf sin2(u)m/2)
1 SlK1) cos>m/2)
Интересно отметить, что обобщенная формула (5) применима при дифракции плоских волн на абсолютно
ЖеСТКИХ ЦИЛИНДре И Сфере, ЄСЛИ ПОЛОЖИТЬ F ((дт) =
—Кр=1. Действительно, в этом случае из (5) получаются известные формулы Рэлея [2] при W=O и Морза [57] при W=—1/2. Более того, при F((om) =cos2(cow/2) и W=—1/2 формула (5) качественно описывает распределение рассеянной интенсивности при дифракции сходящейся сферической волны на цилиндре. Это следует из приближенного представления поля в фокальной плоскости (в окрестности акустической оси) в виде плоской волны. При этом предполагается, что ют < 1, \К\ < 1, kx\k<^ 1 (kx — волновое число в направлении
20б СРЕДНЕЕ ДАВЛЕНИЕ И ДИФРАКЦИЙ НА ПРЕЙЯТСТВИЙ ГЛ. б
оси цилиндрического препятствия, совпадающей с осью x)f а также что выполнено требование малостгі диаметра цилиндра по сравнению с фокальным пятном: ka <с 3,83. Последнее условие всегда выполняется в силу того, что ka <с 1.
Для количественных оценок рассеянной интенсивности можно воспользоваться формулой, учитывающей неравномерность распределения амплитуды по оси х с помощью множителя S\(kxmazx); однако в этом случае формула (5) усложняется и возникает необходимость все оценки производить численно, тогда как в ряде практических случаев достаточно качественного рассмотрения влияния фокусировки на интенсивность рассеянной волны. Поэтому мы ограничимся во всех рассмотренных случаях формулой (5).
Как видно из (5), интенсивность рассеянной волны при дифракции сходящихся волн имеет такие же завь симости от расстояния и диаметра препятствия, как и в случае плоских волн, и, кроме того, пропорциональна квадрату коэффициента усиления давления, что приводит к более сильной частотной зависимости. Такая структура выражения (5) объясняется тем, что в фокальной области фокусирующих излучателей распространяется плоская звуковая волна с давлением р=р0Кр и колебательной скоростью v = VoKv Угловая зависимость интенсивности рассеянной волны для разных типов излучателей различна, что учитывается в (5) дифракционным МНОЖИТелеМ F(k)(COm).
На рис. 6.5 показаны диаграммы рассеяния при дифракции плюской и сходящихся волн на цилиндре, вычисленные при помощи формулы (5). Волна падает на препятствие в направлении от 0° к 180°. Буквы на диаграммах указывают тип волны, а цифры — углы раскрытия волновых фронтов (60° и 90°). Рассеянная интенсивность в направлении 0° показана увеличенной в 10 раз. Из диаграмм видно, что амплитуда рассеянной волны во всех направлениях, кроме ©о — я/2, уменьшается с увеличением угла раскрытия фокусирующих излучателей. Для количественного сравнения интенсивности рассеянных волн при использовании различных типов излучателей значения из диаграмм надо домножить на соответственные коэффициенты