Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.
Скачать (прямая ссылка):
3.3.1. Цилиндрический фронт.
3.3.1.1. Радиальная компонента колебательной скорости. Из (1.2.8) следует, что
Поскольку 4f>l и Го//<С 1, то используем асимптотику производной функции Ханкеля и приближенное
108
СХОДЯЩИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ
ггл. 3
значение (1.2.4) для /?; тогда
V г ж — WqK^o h( — <тц)—— X
2ctw
X j 1F (a) h I р cos (а — Ot0)I00S (а — ао) da%
—аго
где Оц = Ц — я/4, р = kr0.
Рассмотрим однородный волновой фронт, когда Ч^(а)= 1. Разложим плоскую волну под интегралам в ряд по функциям Бесселя и произведем интегрирование:
»г = - «.?' h С" 5 Єп'Ч (Р) Х
X lSn+l (am) COS (П - 1) CX0 + Sn-1 (am) COS {П + 1) OC0]. (1)
Для фокальной плоскости осо =• я/2; учтем, что cos пп = = ( — 1)п; тогда
OO
-^ = 2H W^oHW«")-S«-l<«m)b (2)
/ п=*0
Для акустической оси ао = 0; учтем 4Tocosnao=l; тогда
OO
= 2 еЛ <**•) ISn+l («m) + Sn-1 (««)]• (3) ' п=0
3.3. L2. Тангенциальная компонента скорости. Из (1.2.8) следует, что
—am
откуда так же, как їй для радиальной компоненты, получим
am
X J 4r(a)h[pcos(a — a0)]sin(a — a0)da. (4)
КоЛебательйая Скорость
109
Для однорірідного фронта интеграл (4) ,вычисляется точно:
Va OfivQK$h (- <тц + ?) S1 (aw) S1 (w), (5)
где ? = р pos ао cos am, w = p sin ao sin am. В фокусе, при p=0,
va (0) = Vja = 0,Sv0KfJ S1 (am) sin a0. h (- <хц); (6) тогда (5) можно представить в виде
^aMa = h(?) Si(W). (7)
Модуль этого выражения совпадает с модулем выражения (3.1.4) для распределения звукового давления. Для фокальной плоскости ao = я/2 и формула (5) упрощается: ? = 0, w = ky0 sin am, Vf = 0,51??? h (—оц} X
Xsi(aOT). Для акустической оси «о = 0 и va = 0. Это означает, что в фокальной области в направлении акустической оси нет тангенциальной компоненты колебательной скорости. Как отмечалось выше, в направлении акустической оси имеется радиальная компонента скорости и, как увидим ниже, аксиальная компонента.
3.3.1.3. Аксиальная компонента скорости. Из (1.2.8), дифференцируя по г0, получим
am
- W Ш = - 1HT 1 * О Яо2)'(**> cos (l€z0) da,
(8)
причем
/\
cos {R9 Z0) = (f/R) cos a — {rQ/R) cos ao. (9)
В работе Розенберга [10] отмечается, что в фокальной области главную роль играет аксиальная компонента колебательной скорости, которая полагается равной i>z = uocosa. Как видно из (9), это справедливо только для фокуса, когда rol=0 и f=)R; тогда
110
СХОДЯЩИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ
ггл. 3
COs(R, Zo)=cosa. Вне фокуса, когда r0 < f, последнее
равенство выполняется приближенно: cos(R, Z0) « « cosa. Учитывая это, из (8) получим
a
1
^«^0(""?)-? J cosa- hip cos (a - a0)] da.
—am
Последний интеграл был вычислен при исследовании звукового давления в фокальной области, когда амплитуда распределена по фронту косинусоидально. Так же, как при получении формулы (3.1.20), найдем
TT = /amh (- au) X
/Z
oo
х 2 I- s»-i («m) "Ь 'c„+i (0Ol Jn (Р) h (- "«о).
n=-OO
причем
m
X[S^aJ-/C1 (aw)].
Здесь sn(x) = sinnx/n*, Cn(x) = cos nx/nx.
Результирующий вектор скорости V = Ua + vr имеет вид
При вычислении мы опустили слагаемое, ~ r0/R <С 1. В фокусе р = 0, тогда R = / и
*/ = ~ ^0?11 (- ад)К2 sin (a0 + TJl^ j T(a) cosada.
m о
(10)
§ 3.3]
КОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СКОРОСТЬ
111
При получении этой формулы мы предполагаем, что функция распределения (а) четна и справедливо асимптотическое представление для производной функции Ханкеля. Зависимость от ао учитывает векторный характер скорости: при а = 0 и ao = я/2 максимальны либо аксиальная, либо тангенциальная 'компонента соответственно.
3.3.2. Сферический фронт. Вычислим компоненты колебательной скорости сходящегося сферического волнового фронта с равномерным распределением амплитуды по франту.
3.3.2.1. Радиальная компонента. Из выражения (3.2.8) сразу найдем, учитывая, что <&=p/ikp0c:
OO
Vr (Р. 9«) = ІГ = - h (- W 2 in .7>»-!.«+i(cos em) X
ur0 71=0
X^; (P)/>„ (созЄ0) Fn (6/), (И)
где ф'„ (p) = (n/p) (p) — (p).
Для фокальной плоскости (0о=я/2), обозначая ky0 = г\, получим
vr (ті) = 2v0kf h (- kf) 2 ^ТПТГ ^n-Un-I (cos OJ X
n=0 V '
X (n) - (П)] ^2П (ft/), (12)
а для акустической оси, положив G0 = О или Oo = я, обозначив kzo = Є, найдем
OO
vr (С) = - O0A/ h (- */) 2 (± 0" /'n-i.nf і (cos GJ X
n=0
x[j*n(C)-^+1(o]Fn(ft/). (13)
В (13) плюс соответствует значению Oo = 0, а минус G0= я. Ограничиваясь первым членом ряда (11), получим формулу, справедливую © окрестности фокуса, при р < 1:
Vr (Р, O0) = - V0K^ cos2% h (- ос) T (р) cos G0, (14) где (тс = kf - я/2, T (р) = 3Ij)1 (р)/р.
113
СХОДЯЩИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ
ггл. 3
Выразим теперь радиальную компоненту скорости через ламбда-функции. Для этого вычислим дф/дг0 выражения (1.2.9), введем обозначения и приближенное представление (3.2.14) и проинтегрируем полученное выражение точно так же, как выражение (3.2.15). Тоща
Vr (P. O0)
со
= - cos2 (QJ2) h (- Y) 2 »'VAn+1(a,)/(« + 1)!,
(15)
где Y = во + q — g, ? = р cos 0о, р = krQ.
В окрестности фокуса, при ш<1, ограничимся в (15) нулевым членом:
