Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Каневский И.Н. -> "Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн" -> 27

Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.

Каневский И.Н. Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн. Под редакцией Петруница Н.А. — М.: Наука, 1977. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): fokusirovaniezvukvoln1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 94 >> Следующая

где Rmi и Rm2 — расстояния от точки наблюдения на фокальной оси до торцов фронта. Если точка наблюдения лежит на конце оси полубесконечного фронта, то
Rm2 = /, RmI = OO И
Выражение для модуля звукового давления имеет вид
Поскольку 1, то, переходя к асимптотике функции Ханкеля, найдем lim | P (0)/ру | = 0,5. Этот результат сов-
падает с полученным выше из приближенного выражения (31) и предельного перехода при х2->- оо. Такое совпадение подтверждает справедливость формулы (31) при достаточно больших значениях X2 и правильность физических представлений о малом влиянии участков цилиндрической поверхности, далеких от точки наблюдения, из-за больших углов между нормалями к волновому фронту и направлениями на точку наблюдения.
Рассмотрим поле в окрестности конца оси полубесконечного фронта. При удалении от конца оси не уда-
вші
(34)
ft/-*oo
§ 3.21
СФЕРИЧЕСКИЙ ФРОНТ
97
ется получить точное выражение, аналогичное формуле (34). Поэтому снова воспользуемся приближенной формулой (32), положив щ = оо, Ui ,= «. Тогда С(оо) = = S(oo) = 1/2 и
Это выражение совпадает с формулой, полученной Po-зенбергом [13] на основании аналогии дифракционных явлений на краю фокальной линии и на «конце полубесконечной щели. Выражение (35) подтверждает справедливость этой аналогии. График функции (35) показан кривой 3 на рис. 3.4. При удалении от конца фокальной линии в направлении оси х < О амплитуда быстро и монотонно спадает. При движении по фокальной линии кривая осциллирует около значения 1, причем lim|/?(0)/p/| = 1. Если и>8,5, то отличие р от pf не
П-»оо
превосходит 10% и влиянием конца фронта можно пренебречь на расстоянии, большем двух зон Френеля: *1УЦ > 2.
§ 3.2. Сферический фронт
3.2.1. Описание поля с помощью рядов. В этом разделе мы рассмотрим представления поля сходящегося однородного сферического фронта, выраженные при помощи различных бесконечных рядов. При рассмотрении различных характеристик поля используют разные представления. Например, для определения формы фокальной области в квадратичном приближении естественно представить поле в виде степенного ряда, для вычисления звукового давления в параксиальной области — в виде ряда по сферическим функциям.
3.2.1.1. Степенной ряд. В формуле Дебая (1.2.9) введем обозначения: ?=pcos9o, Tj=psin9o, р~ kro, представим подынтегральные выражения в виде степенных рядов функции-винта и функции Бесселя, учтем, что sin2>'9==2 (')(— l)gcos2*8, и проинтегрируем.
98
СХОДЯЩИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ
ггл. з
Тогда для звукового давления получим
Pc _ у пп у .ЬііУІ у (~1)9 Q i-cosn+2«+1e
Pf п] fco <'!>222j ?0(n + 2<l + l) l-cose„
т
т
(1)
Формула (1) представляет собой точное значение интеграла Дебая и позволяет вычислить поле в любой точке фокальной области. Ряды сходятся при любых конечных значениях 5 и т|, однако вычисления производить удобно только при достаточно малых их значениях, когда можно ограничиться небольшим количеством членов ряда. Ограничиваясь квадратичными членами, найдем
P0 , 1 + cos ЄЛ1 fc 1 + cos Q1n + cos2 9m ^
2 — cos Є — cos29
12
Tl2. (2)
Из (1) при Tj = 0 получим распределение звукового давления по акустической оси:
2d (п+\)\ ' 1 —cose
Pa
Pf
n=0
m
~|h<-C + o) S1 (|)| = |si(t)| (3)
(u=2?sin2(8m/2), ?=?z0, a si(u/2) —sin(v/2)/(v/2)). Формула (3) —известное выражение для распределения звукового давления по акустической оси. Она была получена Тартаковским [16]. Для фокальной плоскости можно получить выражение, положив в (1) значения ? = 0; тогда
Pf fco fco 2q+l ' 1_ 0080H» '
Для поля в фокальной плоскости длиннофокусных систем
§ 321
СФЕРИЧЕСКИЙ ФРОНТ
99
Рэлей [8] получил формулу
рФ/р/=Лі(ті8іпЄт), (5)
в которой Лі — ламбда-функция первого порядка, Tj = kyo. Формула (4) точнее формулы (5), однако при исследовании длиннофокусных систем удобнее пользоваться более простым выражением (5).
3.2.1.2. Ряд по функциям Бесселя. В формуле (1.2.9) разделим переменную интегрирования и координаты точки наблюдения при помощи теоремы умножения функций Бесселя и проинтегрируем полученное выражение. Тогда, после ряда преобразований, получим искомое выражение для распределения звукового давления в фокальной области:
Рф
Рф V (2п>! пТ /"W
2n—і
X
где Pf = poKpoh (—O0), во = kf — я/2, w = p sin B0, и =2pcos0osin2(0w/2), p = Ar0. Если до<СІ, то можно ограничиться в (6) нулевым членом:
Iplpf I » I J0 (W) S1 (а/2) I. (7)
Из условия ш<С 1 вытекает, что последнее выражение справедливо при больших расстояниях от фокуса, когда углы 0о малы, т.е. sin90-C 1/р и точка наблюдения лежит в параксиальной области. Если в (6) положить w = 0, то получим распределение по акустической оси, описываемое формулой (3).
3.2.1.3. Ряд по сферическим функциям. При исследовании поля сходящегося сферического фронта естественно его представить в виде суммы сферических волн. Для этого применим формулу Дебая (1.2.1), в которой подынтегральное выражение, описывающее сферическую волну, разложим в ряд по сферическим функциям. После преобразований получим выражение для поля
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 94 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed