Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
^Рц АУ2, t2\yi, ^dy2 = L
В более общем случае можно зафиксировать значения величины Y в/г различные моменты времени Z1, ..., Zfe и интересоваться совместной вероятностью В другие / моментов времени Zfe + 1, . • ., Zfe „J. Таким образом, мы приходим к общему определению условной вероятности:
р1\к{ук~и ¦¦¦', Ук-ч, іцгі\Уи їй ¦¦¦¦ У к, h) "=
Рк-і- і ІУг, >!¦¦¦¦', у к' tIi', Укч- fk + l', --', b'krh tIt i) 4 _ Рк(Уъ h; ¦¦¦', уь 'ч) ' ^ ' ' -
* Kolmogoroff А. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Ergebn. Mathem. Frenzgeb., 2, по. 3 (Springer, Berlin, 1933)-Foundations of Probability Theory (Chelsea Press, New York, 1950); Friedman A. Stochastic Differential Equations and Applications I Acad, Press, New York, 1975) Ch. I. Papoulis A., Probability, Random Variables and Stochastic Processes (McGraw-Hill, New-York, 1965) Gewohnliche Differentialgleichungen mit zufalligen Parametern (Aca-demie-Verlag, Berlin, 1972).
68 По определению, Pt і k симметрична по парам переменных в множестве, содержащем k пар, и в множестве, содержащем I пар переменных. Эта условная вероятность также может трактоваться как вероятность в подансамбле тех выборочных функций, которые попадают в k заданных интервалов в моменты Z1, Z2, ..., tk.
Обобщением понятия характеристической функции на стохастические процессы является характеристический функционал. (В другой связи эта идея была использована в § 2.3.) Пусть Y (Z)— заданный ' случайный процесс. Введем произвольную вспомогательную пробную функцию k(t). Тогда характеристический или генерирующий моменты функционал, зависящий от k (Z), определяется с помощью следующего соотношения:
G [(*)]-(
ехр
\ k(t)Y(t)dt
). (3.4.4)
Обозначение G ([/г]) подчеркивает, что G зависит от всей функции k, а не от ее значения в какой-либо определенный момент времени Z. Сходимость интеграла не должна вызывать беспокойства, потому что класс функций k можно ограничить только теми из них, которые быстро убывают при достаточно больших |Z|. Раскладывая (3.4.4) по степеням k, получаем
G([k}) --
ОС
- ? ~ U(Z1) . . . k(tm) < Y(I1) . . . Y(tm) > At1... dtm. (3.4.5)
т-0 '
Тогда каждый момент совместного распределения Y(I1), Y (Z2), ... можно найти как коэффициент при члене с Ze(Z1)^(Z2) ... в этом выражении. Аналогично, кумулянты могут быть найдены из выражения
logG([*D-
00
S W Г'
-- - ? ~ \k (Z1) ...к (ZJ ((Y(I1) ... Y (ZJ >> dz, . . . dtm. (3.4.b)
т—! ^
Процесс является стационарным, когда все Pn зависят только от разности времен:
Pn (у г, ^ij- Т. г/2, Z2--T;...; уп, In-
P п (у 11 Z1; у.г, Z2; . . .; у„, t„).
Необходимым, но отнюдь не достаточным условием для этого является независимость функции P1 (уі) от времени.
Процесс называют гауссовым, если все его функции Pn (многомерные) являются гауссовыми распределениями. В этом случае все
69 кумулянты, кроме м = 2, обращаются в нуль и G ([*)] = ехр [і ^(Z1) ^(Z1)HZ1-
--і jj Htl) k{Q «K(Z1)F(Z.2)»dZ1d/,]. (3.4.7)
Гауссов процесс полностью определяется его средним значением )K(Z)> и вторым моментом <К (Z1) K(Z2)). Гауссовы процессы особенно просты в обращении и поэтому хорошо изучены. Их часто используют для приближенного описания таких физических процессов, при описании которых можно пренебречь кумулянтами более высокого порядка. В гл. 9 будет показано, что это предположение оказывается приемлемым во многих случаях, но гл. 9 и 11 показывают, что это отнюдь не всегда так.
Упражнение. Рассмотрите случай когда Pft в (3.4.3) равны нулю. Упражнение. Определение гауссова процесса было бы спорным, если бы оно было несовместно с § 3.4. Покажите, однако, что когда некоторое Prc гауссово, то гауссовы и все Р/, более низкого порядка. Покажите также, что условные вероятности гауссовы. Упражнение- Вычислите иерархию функций Pn для процесса (3.1.7), полагая
г|з (Z) > 0. Проверьте, что условия п. 1—4 удовлетворяются. Упражнение. Выразите характеристический функционал процесса (3.1.7). через
характеристическую функцию случайной переменной X. Упражнение. Вычислите характеристический функционал процесса Кэмпбелла и выведите для кумулянтов следующее соотношение:
ОС
«Г (^i)'" ^ Ca)'"= ...»= ] {iH^-t^M^s-t}'** ... dr. (3.4.8)
— ОС
.Упражнение. Пусть x(t), p(t)— координаты и импульс свободной частицы. Начальные значения х (0), р (0) представляют собой случайные переменные с заданным распределением P1 (х, р, 0). Тогда {*(/), р (/)} образуют двумерный случайный процесс. Вычислите P1 (JC1, рь Z1), P 2 Pi> ги *а> Ръ 'г). P1 і і (-*^. Pi' Z2 pi, гЧ) и функции Pn более высокого порядка. Упражнение. Переменная х (I) в предыдущем упражнении сама по себе является стохастическим процессом. Вычислите функции распределения для случая
P1 (X, р, 0) = (2л)-] ехр [-Vi(Jt2-I-Ps)I-
Упражнение. Пусть К(1) (Z) и К12> (Z)— два случайных процесса с иерархиями н Р(2). Пусть Ot1 и Ct2 — два неотрицательных числа, причем CC1-I-CX2--S. Покажите, что Pn — CtiPni-J-CtgP zf^ («выпуклая комоинация») тоже является допустимой иерархией. Какой случайный процесс она описывает? Упражнение. Покажите, что факториальные кумулянты (1.3.13) для. процесса Y даются выражением
