Волновая оптика - Калитеевский Н.И.
ISBN 5-06-003083-0
Скачать (прямая ссылка):
На первый взгляд может создаться впечатление, что дифракция существенна лишь для достаточно длинных волн, а в оптическом диапазоне встречается чрезвычайно редко. Иногда говорят, что в оптической области надо искать дифракцию, а в области радиоволн надо искать способы избавиться от этого явления. Это, конечно, верно, но не следует забывать, что именно в оптической области применение теории дифракции необходимо для исследований предела возможностей всех оптических и спектральных приборов, а наличие естественных экранов, размеры которых того же порядка, что и длина волны света, характерно для оптических экспериментов на молекулярном уровне.
Строгая дифракция весьма сложна. Мы ограничимся подробным обсуждением исходных предпосылок и их следствий и уделим внимание приложению теории к решению ряда оптических задач, имеющих принципиальное значение.
255
6.1. ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА-ФРЕНЕЛЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Изложение принципа Гюйгенса—Френеля в данном параграфе существенно отличается от приведенного в § 3.3, где положение волнового фронта в последующие моменты времени определялось как огибающая элементарных сферических волн, излучаемых каждой точкой, до которой дошел фронт в данный момент (принцип Гюйгенса). Никакой интерференции между этими сферическими волнами Гюйгенс не учитывал, да и вообще не принимал во внимание фазовых соотношений. Поэтому принцип Гюйгенса в его первоначальной форме не мог служить основой волновой оптики. Потребовалось значительное время, чтобы после принципиальных дополнений Френеля оказалось возможным применить его для истолкования дифракции. Изложим идею принципа Гюйгенса—Френеля в тех терминах и понятиях, которые соответствуют электромагнитной теории света. Строгая математическая формулировка этого принципа, данная Кирхгофом, здесь не приведена”.
Окружим исследуемый источник электромагнитных колебаний S воображаемой поверхностью а и рассмотрим возмущение в точке Р, находящейся вне указанной поверхности (рис .6.1), как
6.1. К формулировке принципа Г юйгенса-Френеля
6.2. Схема разбиения поверхности а на зоны Френеля
результат совместного действия всех элементов da. Таким образом, в точке Р изучается суперпозиция вторичных сферических волн, излучаемых всеми элементами поверхности а. Следует отметить, что действие реального источника S заменяется действием совокупности элементов фиктивной поверхности а. Все эти вторичные колебания когерентны (их фазы и амплитуды задаются первичным колебанием), и, следовательно, их амплитуды можно складывать.
Запишем высказанные положения, дополнив их (согласно Френелю) введением некоего коэффициента ft(vj/), который при-
Заметим, что для волн оптического диапазона при некоторых ограничениях условий опыта приближение Гюйгенса-Френеля вполне корректно.
256
нимает максимальное значение, когда нормаль п совпадает с r(v)/ = 0) и обращается в нуль при vy > п/2 . Введение такого коэффициента означает отсутствие обратной волны, направленной внутрь поверхности а".
Амплитуда колебания, создаваемого в точке Р одним произвольным элементом do,
dE0 = k(\y)
Еq exp(ika-i)
exp(ikr) dg (6.1)
a i
Здесь отброшена временная зависимость [при данной форме записи она выглядела бы как ехр(—tint)] и учтено, что источник испускает сферическую волну, исходная амплитуда которой E'q. Для простоты будем считать, что точечный источник S испускает монохроматическую сферическую волну. Но все приближения, сделанные ранее (например, квазимонохроматическая волна, излученная протяженным источником, и др.) и позволившие обосновать возможность наблюдения интерференционных явлений, конечно, остаются в силе. Вывод можно провести для произвольной поверхности а, но проще всего предположить, что она совпадает с волновым фронтом от точечного источника, т.е. является сферой радиуса а\.
Тогда суммарное возмущение в точке Р определяется равенством
Е0(Р) = jJfe(M,) dq. <6-2)
a
Для того чтобы провести интегрирование, разобьем поверхность а на зоны Френеля (рис. 6.2). Построение выполняется так, что N\P = аг + Я./2; N^P — 2Х/2 и т. д. В этом случае
в точку Р волны от любых двух соседних зон придут в противофазе.
Легко показать, что площади всех зон примерно одинаковы. Действительно, обозначив высоту первого сегмента h\, находим
а1 — (ai ~ h\)2 = (а2 + ^/2)2 — (02 + hi)2-
Пренебрегая X2, получаем hi « ——---------- Отсюда находим,
+ ^2 2
что площадь сферического сегмента, представляющего первую зону, равна
2ла1А1 = -Гса_1а2_ ^ (6.3)
aj + а2
* Коэффициент k(\[l) по величине равен -cosip и как бы учитывает эффективные размеры элементарной излучающей площадки.
9-462
257
Если вычислить таким же способом общую площадь двух первых зон, то вместо а2 + Х/2 будет а2 + 2Х/2 и мы получим 2%а\а2Х/(а1 + а2). Следовательно, площади двух первых зон одинаковы, что справедливо и для любых других зон.
Из тех же соотношений легко определить радиус п-й зоны:
г"=лГ,
а1а2
X:
(X2 + CL 2
Кроме того (см. рис.6.1),
г2 — а2 + (аг + а2)2 — 2а1(а1 + a2)cos@, rdr = ai(a1 + a2)sin©d©,
(6.4)
da = aj sin © d© dcp
