Волновая оптика - Калитеевский Н.И.
ISBN 5-06-003083-0
Скачать (прямая ссылка):
обусловливаемого дифракцией тттттт тттт
по каждой щели, нужно учесть интерференцию между этими N пучками. В данном случае по-прежнему можно решать одномерную задачу, направив ось X перпендикулярно образующим щелей. Рис .6.34 поясняет задачу. с , »
J ,, „ b.о4. К исследованию фраунгоферовои
От Элемента их какой—то И~йдифракции на правильной структуре из щели в исследуемом направле- N щелей
нии (направляющий косинус этф) распространяется волна вида
Eq
-g- dxexp?{cai — &[(« — 1 )d + x]skup}.
Вся n-я щель пошлет волну вида
Ь
Е Г
-^2-expi[cof — k(n — 1 )d skup] exp(—?&a:skup)d;e . (6.45)
Для учета действия всех щелей нужно сложить все образовавшиеся волны. Они когерентны, значит, складываются напряженности электрического поля. При такой схеме расчета автоматически учитывается фаза результирующей волны. Итак,
N Ъ
-т-5- exp(icui) ^ exp[ — ik(n — l)d shup] | ехр(—?&xshKp)d;e . (6 .46)
n=l J
Выше было показано [см. (6.35)], что
Такую правильную структуру щелей называют дифракционной решеткой.
291
ч
| exp(—ikxsimp) dx = E0 siQ“ 0
где и = nbsimp/s.. Вынесем этот множитель, не зависящий от п, за знак суммы, и тогда для определения амплитуды результирующего колебания нужно лишь найти сумму:
N д
У exp [ — ik(n — l)dsiiup] = 2^ ехР п=1 л=1
Обозначим jidsincpA через 5. Тогда
—(п — l)dsinq>
N
У exp [ — i2d(n — 1)] = 1 + ехр(—28t) +
n=1 (6.47)
+ ехр(—48t) + . . . + ехр[— 2d(N — l)i] .
Это геометрическая прогрессия со знаменателем q = ехр2<3i, сумма которой, как известно, равна (1 — qN)/(l — q) ¦ Следовательно,
Уехр[- 26(п - l)i] = — ~ ,exP(~28^i) .
?i 1 - exp(-28i)
Для оценки 1р нужно вычислить произведение суммы (6.47) на сопряженную ей величину ЕЕ*:
У у"= [1 — ехр(—28М)][1 — ехр(—28№)] (6.48)
t1 — ехр(—28i)][l — ехр(—28i)]
Числитель этой дроби легко привести к более простому виду, а именно:
[1 _ еХр(-28М)][1 - ехр(28М)] = 2 [l- ехр(-2М>0 + exp(2№3Qj
Вещественная его часть равна
2(1 — cos2iV8) = 4sin2M>.
Аналогичный расчет показывает, что знаменатель выражения (6.48) равен 4sin28. Следовательно, интенсивность света, распространяющегося под углом ф к нормали после дифракции на
292
правильной структуре из N щелей,
I<р = /o(sinu/u)2(sinM>/sin5)2, (6.49)
где и = (лЪ/Х)втф, 5 = (ncf/AJsiiup.
Множитель (sinu/u)2 характеризует распределение интенсивности в результате дифракции плоской волны на каждой щели, а множитель (sin№5/sin5)2 учитывает интерференцию между пучками, исходящими от всех щелей. Множитель Iq определяет интенсивность света, излучаемого в направлении ф = 0, которая зависит от потока энергии, падающего на решетку света.
При анализе полученных результатов исследуем сначала интерференцию N пучков, т.е. посмотрим, как меняется множитель (sinM>/sin5)2 в зависимости от угла дифракции ф.
Из рис. 6 .34 видно, что величина dsiпф равна разности хода Д между волнами, испускаемыми двумя эквивалентными точками соседних щелей. Если она равна целому числу волн, то колебания усилят друг друга. Поэтому, положив
dskup - тХ, (6.50)
где порядок дифракции т — 0, 1, 2..........посмотрим, во что обра-
щается исследуемый множитель; имеем 5 = (ndsimp//*) = тп, т. е. siniVS = 0 и sin5 = 0. Известно, что lim |sinM>/sin5| =
sin<5-+ О
= N и, следовательно,
(^)макс = Io(sinu/ u)2N2. (6.51)
Этот очень важный результат заслуживает внимательного рассмотрения. При выполнении условия dsi пф = ml интенсивность света, дифрагировавшего по системе из N щелей, возрастает не в N раз по сравнению с интенсивностью света, прошедшего через каждую щель, а в N2 раз. Это прямой результат интерференции дифрагировавших пучков на правильной структуре. Если бы N щелей располагались хаотически, то интерференционный член был бы равен нулю, а суммарная интенсивность пропорциональна числу щелей неправильной структуры.
Максимумы, возникающие при выполнении условия (6.50), называют главными максимумами. Они появляются тогда, когда одновременно sinN5 = О и sin5 = 0. Но между двумя главными максимумами должно возникнуть N — 1 минимумов, где sinNd ~ = 0, но sin5 * 0. Между этими минимумами должны находиться побочные, или дополнительные, максимумы, в которых интенсивность света при достаточно большом N пренебрежимо мала по сравнению с интенсивностями главных максимумов.
293
Для того чтобы лучше понять, как появляются главные и дополнительные максимумы интенсивности, запишем ряд значений N5 при последовательном их возрастании:
N8 = 0, п, 2п,
., (п — 1 )я, Nn, (N + 1 )п, . . ., 2(N — 1)я, 2Nn,
--------------------' X ’ -------------------------J-
Стрелками показаны главные максимумы (sin8 = 0, sinNd = 0), а фигурными скобками — минимумы (sin8 ^ 0, sinM> = 0).
Здесь мы вновь, как и в § 5.7, наблюдаем интерференцию многих пучков света (многолучевую интерферометрию). В данном случае распределение интенсивности в интерференционной картине оказывается совершенно другим, чем при интерференции двух волн, при которой для освещенности характерна зависимость вида cos25. На рис. 6.35 приведен график функции (sinM>/sin5)2 в пределах трех главных максимумов (т = —1,0,+1) для N = 2 и для N = 8. Конечно, вертикальные масштабы
