Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
В чем же коренятся эти парадоксы? История, которую я хочу вкратце рассказать вам здесь как вступление к предмету, необыкновенно интересна и поучительна. Вероятно, вам известно, что Больц-ман, идя за другими исследователями, такими, как
8
Клаузиус или Майер, пытался выяснить поведение газов, опираясь на механическую модель.
Газ рассматривался как система, Я-теорема состоящая из огромного числа ча-
стиц, и для вывода уравнения состояния газа применялись законы механики. Венцом исследований Больцмана и Максвелла был вывод так называемой Я-теоремы Больцмана. Это один из предметов, о которых здесь говорил проф. Дрезден (см. предисловие. —Прим. перев.) при обсуждении уравнения Больцмана и его связей с гидродинамикой. Обсудим уравнение Больцмана, но с несколько иной точки зрения. Предположим, что мы имеем дело с пространственно однородным газом. Это означает, что распределение частиц в пространстве равномерное. Для гидродинамики существенно, как изменяется такое распределение со временем, поэтому проф. Дрезден не обсуждал этот случай.
Так вот, пусть / (v, t) dv — распределение скоростей в пространстве скоростей. Это выражение Больцман интерпретировал как число частиц газа, заключенных в элементе объема dv и имеющих в момент времени t скорость V.
Он выписал сложное интегро-дифференциальное уравнение, из которого вывел знаменитую //-теорему:
f (M) log/(M) ^ 0. (1)
Этот интеграл (в действительности — тройной) обозначается через Н. Таким образом,
H=^f(v,t)logf(v,t)dv (2)
уменьшается или по крайней мере не возрастает с течением времени. Это было достижением, достойным внимания и особенно нравившимся Больцману, так как H было в определенном смысле аналогом взятой с обратным знаком энтропии. Из классической термодинамики было хорошо известно, что эта функция состояния (энтропия) имеет важное свойство, а именно, никогда не уменьшается.
9
Больцману удалось, таким образом, построить механическую величину, которая ведет себя подобным же образом.
И все было хорошо, пока не оказалось, что это неприемлемо, ибо противоречит механике. Возражения выкристаллизовались в двух парадоксах. Один из них был парадоксом обратимости Лошмидта (около 1876 г.), другой — пара-Парадокс доксом возвратов Цермело и Пу-обратимости анкаре. Этот второй парадокс возник позже, думаю, около 1900 г. Парадокс обратимости проще и, в некотором смысле, более фундаментален. Он состоит в следующем: все уравнения механики обратимы по отношению ко времени. Это значит, что если мы совершим преобразование t -> —t (так называемая замена времени на отрицательное время), то данные уравнения не претерпят изменений. Это — следствие того факта, что в механике все производные по времени — вторые. Нет средств отличить уравнения механики, написанные для возрастающего времени, от уравнений, написанных для убывающего времени. Пользуясь более философской терминологией, можно сказать, что не существует никакого механического опыта, который мог бы решить вопрос о том, в каком направлении изменяется время. Поэтому, как указал Лошмидт, что-то у нас не так, поскольку допускается, что H — величина, которую можно вывести на основе механического описания состояния. Но если заменить t на —t, то эта величина вместо уменьшения возрастает. Таким образом, исходя из чисто обратимой модели, мы приходим к необратимым выводам — ясно, что тут что-то по существу не в порядке.
Занятно, что в математике одного опровержения достаточно; достаточно даже подумать, что что-то не в порядке, чтобы возникли сомнения. В физике же нужно иметь несколько парадоксов, чтобы люди убедились, что что-то не в порядке. И вот, в целях построения еще одного парадокса Цермело (которого на пороге нашего века интересовала логическая сто-
ю
рона указанного вопроса) напомнил об одной теореме Пуанкаре. Это хорошо известная и изящная теорема. Она гласит, что каждая замкнутая и консервативная динамическая система будет такого типа, что (я формулирую ее в данном случае не очень точно) если мы выйдем из произвольной точки, то непременно вернемся в сколь угодно ее близкую окрестность, лишь бы не слишком неудачно была выбрана исходная точка. Иными словами, консервативная система с конечной энергией будет квазипериодичной. Это значит, что состояние стремится повториться. Следовательно, если бы величина H была механической величиной, она должна была бы тогда осциллировать. Отправляясь от некоторого начального значения, она когда-нибудь должна была бы вернуться сколь угодно близко к начальному значению. Это явно противоречило бы выводу, что H изменяется только в одном направлении.
Прежде чем приступить к выяснению этого парадокса, я хотел бы доказать слушателям теорему Пуанкаре. Вывод ее очень прост и, вместе с тем, иллюстрирует один из основных и дидактически важных методов общего математического мышления. На этот метод мы будем неоднократно обращать внимание в течение наших лекций.
Допустим, что мы имеем механическую систему частиц с полностью произвольными силами, действующими между ними. Известно, что тогда движение этой системы можно записать с помощью уравнений движения Гамильтона. Впрочем, нам нет необходимости знать точный вид этих уравнений. Все, что нам нужно знать — это то, что существует некоторая функция Н, зависящая от координат (обобщенных координат) и моментов, и что с помощью этой функции можно написать некоторое дифференциальное уравнение, описывающее движение частиц. Поскольку гамильтониан зависит от координат и моментов, возникает мысль рассматривать все это в бтг-мерном пространстве, в котором координаты обозначались бы через qi и рх. Как,
