Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
58
зависящей от |(o) — v)\ и |(ю — v) 1\. Член на-
зывается членом, обусловленным потоком. Член, стоящий справа, называется членом, обусловленным столкновениями.
Я хотел бы теперь сделать некоторые замечания. Уравнение, которое мы только что выписали, является полным уравнением Больцмана — уравнением Больцмана в фазовом пространстве. В действительности Больцман вывел свое уравнение за два последовательных шага. Сначала он вывел уравнение, относящееся только к пространству скоростей, т. е. в предположении о том, что распределение в пространстве является равномерным. Тогда градиент в (61) относительно г будет равен нулю и член V sjrf исчезнет, г станет просто параметром, так что г можно с тем же успехом вычеркнуть. Тогда получится уравнение, содержащее только v и t:
¦g- = fjtffi) ^dIUf1-Jf1]^-V)Il. (62)
Это — уравнение Больцмана в пространстве скоростей, справедливое только в случае пространственно-однородных систем. Последнее означает, что вероятность нахождения частицы в любой части объема V одна и та же. Это, очевидно, случай мало интересный с точки зрения гидродинамики, где как раз главная цель — показать, как движется масса газа. Но именно это уравнение послужило Больц-ману отправным пунктом при выводе его Я-теоремы. Оно связано с приближением к термическому равновесию при условии, что газ уже находится в пространственном равновесии.
Это очень простой и очень интересный вывод, который я хотел здесь привести, чтобы показать вам аналогию с тем, что я сделал в случае нашей
модели. Что представляет |~? По Больцману, произ-
водная ^ определяет полное изменение числа частиц в малом объеме фазового пространства. Это изменение происходит по двум причинам. Одной
59
является поток, другой — столкновения. А поэтому полное изменение определяется суммой этих двух факторов. Как вы уже хорошо знаете, существует много операций, с помощью которых мы можем связать между собой эти два члена (т. е. члены, обусловленные потоком и столкновениями). Мы бы могли их перемножить, поделить, взять логарифм или что-нибудь в этом роде. Так почему же мы берем именно их сумму? Нельзя сказать, чтобы это было вполне ясным для меня, да и для физиков тоже. Просто это принимают как данное и ничего больвю. На самом же деле легко заметить, что это не вполне согласуется с действительностью, поскольку поток и столкновения нельзя друг от друга отделять. В самом деле, чем, в сущности, вообще являются столкновения в механической модели? Мы имеем силы с малой областью действия, и когда две частицы приближаются друг к другу достаточно близко, происходит столкновение. Но и поток является тоже движением, происходящим под влиянием тех же самых сил, но при таких расстояниях, на которых указанные силы действуют слабее. Вопрос о том, почему мы должны разделять их на два упомянутых выше явления, которые столь очевидным и ясным образом тесно друг с другом связаны, а после этого суммировать их, вообще говоря, не ясен. Но существуют и другие аргументы, связанные с этой задачей, которые были высказаны в работах Боголюбова и которые я вообгце не мог понять. Единственным человеком, который их понимает, является Улен-бек; он даже подробно вывел теорию Боголюбова. Боголюбову удалось дойти до уравнения Больцмана, которое содержало некоторые члены, связывающие между собой поток и столкновение. Это было сделано достаточно формальным способом, которого я, как уже сказал, не понимаю. Я не буду поэтому разбирать этот вопрос более основательно. Это, однако, означает, что мы должны ожидать появления не только суммы указанных выражений, но, сверх этого, также и некоторых дополнительных членов. Если вы повторно просмотрите вывод, дац-
60
ный проф. Дрезденом (см. предисловие. — Прим. перев.), то придете к убеждению, что уравнения гидродинамики должны быть несколько видоизменены. Вероятно, для очень слабых потоков и малых градиентов этот дополнительный член окажется малым и, следовательно, ничего не изменится. Любопытным обстоятельством, по крайней мере для меня, является невозможность построения вероятностной модели, которая привела бы нас к полному уравнению Больцмана. Я вам, однако, покажу, каким образом можно легко прийти к этому уравнению в пространстве скоростей.
Открою тайну, почему это можно сделать. Раз мы постулировали пространственную однородность, мы имеем большой произвол в осуществлении усреднения по всем возможным положениям. Если мы не имеем пространственной однородности, проблема становится более определенной. Нет совершенно места или, по крайней мере, мы не можем его найти, для введения стохастического элемента. Неизвестно, что означает термин «случайный», и ввиду этого мы не в состоянии найти соответствующей стохастической модели, которая привела бы нас к полному уравнению Больцмана. Это одна из интересных проблем, на которую никто серьезно не обращает внимания, потому что люди вообще любят получать следствия из готовых уже уравнений еще до того, как поймут их. По моему мнению, по-настоящему понять, в каком смысле уравнение (61) можно истолковать как вероятностное уравнение, является очень важным.
