Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
Различие между (9.2) и (9.3) не только в этом. В электродинамике в плоском пространстве коэффициенты Ламэ характеризуют геометрические свойства координатной системы, а также системы отсчета, но не электромагнитное поле. Поскольку согласно предположению Эйнштейна g^lv определяет также и гравитационное поле, это предположение автоматически относится и к обобщенным коэффициентам Ламэ. Таким образом, хотя в буквальном смысле рецепт переопределения полевой функции в электродинамике и не подходит к ОТО, но в сочетании с указанной эйнштейновской идеей наталкивает на новый способ переопределения — замены g^v обобщенными коэффициентами Ламэ, выступающими в роли нового варианта гравитационных потенциалов, имеющих локальный индекс. В отличие от напряженностей электромагнитного поля и от метрического гравитационного потенциала с тетрадными гравитационными потенциалами Zi^fe связано 2 вида преобразований: преобразование глобальных координат и локальное лоренцево преобразование. Тем самым требование локальной справедливости СТО выражается полнее и непосредственно с помощью локальных лоренцевых преобразований. Вследствие эйнштейнова предположения, что свойства поля и пространства характеризуются общим набором величин, бесконечно малое лоренцево преобразование тетрадных векторов ek при переносе их из точки в точку становится эквивалентным введению аффинной связности. Эта эквивалентность требует введения связности специального вида, задаваемой коэффициентами вращения Риччи. Поэтому исходным структурным элементом при построении уравнения Эйнштейна в новом, тетрадном представлении также может служить тензор Римана, но как дифференциальный комитант от коэффициентов вращения Риччи уь,пь удовлетворяющий (3.72). Ограничившись римановой геометрией и вводя локально-мировые компоненты тензора Риччи
Rno = ^fcflfcnil0f R = HonRna, (9.4)
139. приходим к эйнштейновскому уравнению в тетрадной форме [33, 65, 111, 160, 167, 169]:
Rno-^hnoR = KTno (9.5)
относительно 16 неизвестных тетрадных полевых функций hon, Tno — тензор энергии-импульса. Очевидно,
Wv = KnRnv, (^v = RJ, (9.6)
где тензор Риччи Ron, вообще говоря, не симметричен поскольку, например, R(\)2?zR(2)u R(m ф Rm- В силу (9.6) система (9.5) сводится с 16 до 10 уравнений. Тетрадный аналог тождеств Бианки понижает далее число независимых уравнений также до 6, как и в метрической формулировке. Поэтому для нахождения тетрадного поля тяготения — 16 тетрад Ii^h — требуется дополнить тетрадные уравнения Эйнштейна не только 4 условиями типа координатных, но и 6 другими дополнительными калибровочными условиями.
Тетрадные уравнения Эйнштейна (9.5) ковариантны и относительно преобразований глобальных координат и относительно локальных лоренцевых преобразований. Наличие двух видов преобразований в тетрадной формулировке ОТО, из которых одно лоренцево, стимулирует введение различия понятий системы отсчета и системы координат. Тогда недостаток шести уравнений в системе (9.5) интерпретируется как выражение требования, что система отсчета при построении теории принципиально не должна фиксироваться. На такого рода интерпретации тетрадной формулировки специально остановимся в следующем параграфе.
Легко осуществить переход от метрической к тетрадной формулировке ОТО и наоборот. Свернув (9.5) с HvJ11 находим
KnRno - ~ KnKnR = R»o —X-g»oR=*KnTno=K T^ (9.7)
При этом возможность явного введения локального лоренцева преобразования теряется, так как
^V = KrKsVrs = Kk'Kn\k>n> = inv. (9.8)
Очевидно, g^v инвариантна относительно любого общего, а не только собственного лоренцева преобразования [30, 31]. Возможность подвергать тетрады лоренцеву преобразованию и наличие связи между б. м. лоренцевым преобразованием и аффинной связностью требует дифференцируемости локального преобразования Лоренца. Это требование обычно застав-
но ляет отбросить преобразования отражения, входящие в общую группу Лоренца, и ограничиться собственным лоренцевым преобразованием, что в свою очередь ограничивает выбор калибровочных условий, который становится эквивалентным заданию 6 параметров собственного преобразования Лоренца.
Обе формулировки, метрическую и тетрадную, можно вводить независимо, в том числе вариационным путем [117, 170, 296, 297], а (9.8) рассматривать как связь между различными возможными полевыми функциями. Конечно, подстановка (9.8) в метрическое эйнштейново уравнение приведет к уравнению тетрадному. В свою очередь система уравнений (9.8) с заданными и неизвестными Iillk эквивалентна тетрадному эйнштейнову уравнению вместе с 4 дополнительными, например, координатными условиями. Добавление к системе 10 уравнений (9.8) шести калибровочных условий позволяет найти все 16 тетрад Iilih.
Таким образом, в тетрадной формулировке теории тяготения аналитическое выражение локальной справедливости СТО весьма развернуто и проявляется в использовании локального метрического тензора СТО, бесконечно малых (б. м.) обобщенных преобразований Лоренца, задаваемых коэффициентами вращения Риччи, конечного обобщенного (зависящего от координат) преобразования Лоренца, вводимого для дополнительной калибровки тетрад.
