Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
— L{k) pd[(r)'L{n)']P). (3.9)
Поскольку LinyW зависит от координат, объект неголономности, как видно из (3.9), является более сложным геометрическим объектом, чем тензор.
Введем объект неголономности на базе двух различных «опорных» координатных систем (псевдодекартовых голоном-ных). В преобразованной голономной системе имеем
'Q(*W> - LrinLrinArLnm, (3.10)
Учитывая, что
U\r) =» LifsLsirh Lif8 = const, (3.11)
находим
Q{k\n){r) Lmir)L\n) д [sLm](A) = Q(k)in)ir), (3.12)
т. е. объект неголономности не зависит от того, какая из голо-номных псевдодекартовых систем координат принята в качестве опорной. В частности, из (3.9) следует
Qftnr = Lfta)L„<'U/'>Q(<>(i)u) -LkipArLn^ = 0. (3.13)
41 Можно ввести величину
def
Qknr = L\l)L^«W\l)U)=L\v)d{rLn{'>\ (3.14)
образованную из й%хі) 110 тензорному закону. Это — «тензо-риальные компоненты» объекта неголономности относительно голономной псевдодекартовой системы. Очевидно, они не равны компонентам объекта неголономности голономной псевдодекартовой системы:
QV=^ffnr=O. (3.15)
3.2. Коэффициенты вращения Риччи, определяемые обобщенными преобразованиями Лоренца. Переход от голономной к неголономной псевдодекартовой системе координат приводит к коэффициентам связности, отличным от нуля. Действительно:
Г(г)(т)(р) - Y<"(m,(p> = Lh"L\m)L\p)Yknr + L/4p)L'(m), (3.16)
т. е. коэффициенты связности в неголономной псевдодекартовой системе, обозначенные коренной буквой у, имеют вид:
Y0W -LUL'u?J/M, (3.17)
Y (IXm)(P) = rI(Z)(^t)Yw (тНрУ (3.18) Они антисимметричны по двум первым индексам:
У((т)(п))(г) = — LP(nAr) (Ll'(m)Vip) + Ір(п)д(г)^Р(т) = 0, (3.19)
Y (m)(n)(r) = — Y (п)(т)(г)' (3.20)
т. е. коэффициенты связности (3.17) неголономной псевдодекартовой системы координат, установленной на базе также псевдодекартовой системы, являются частным случаем коэффициентов вращения Риччи [17, 18, 32, 228, 229]. Сравнивая (3.17) с (3.6), находим, что в пространстве Минковского
Y(k)l<m)M]=-aW(m)M- (3.21)
Таким образом, если объект неголономности отличен от нуля, то и Y(/°(m)(n) Ф Следовательно, в неголономных псевдодекартовых системах координат коэффициенты связности обязательно отличны от нуля. Через объекты неголономности может быть выражена не только антисимметричная часть Y(fe)[(m)(n)]> но и весь коэффициент Риччи. Чтобы найти такое выражение, рассмотрим (3.16) детальнее:
Y(fc)(n)(r) = ~ L1^VMV{r) [(VwLmiqW^y) X
X Iai (Lm<%<5>4w(„) + dj (L1MLJw^mm) -
- дт (L1C)L/"'ті(0(/))> + V«o(r,LP(n). (3.22)
42 Выполним в этом выражении дифференцирование, учитывая (3.6). Переходя к полностью ковариацтным компонентам, имеем
Y (mUDU) = — fi(m)(i)(j) + ЦуХтХО + ЦіХтХЛ' (3.23) Отсюда вытекает (3.21), а также
Y(mX(iXj)) = — 2 Q((i)(j)Xm)- (3.24)
Перейдем к другой неголономной системе координат, установленной на базе той же голономной системы, что и первая. Учитывая (3.17), получаем
+ L(m)\s) dwL(p/s) = LWuflwLwk, (3.25)
т. е. тот же результат, как если бы переход к неголономной системе (dx( >') совершался непосредственно от системы голономной. Сравнивая законы преобразования (3.25) и (3.9), видим, что коэффициенты связности неголономной псевдодекартовой системы и объекты неголономности имеют разные законы преобразования. Естественно в (3.18) изменить голономную систему, на базе которой установлена неголономная. Тогда, поскольку r(p)V)/(s)/:=0, Lp'і = const,
V = V*>d(r)L''(n) = Y<ft>(n)(r), (3.26)
т. е. изменение опорной псевдодекартовой голономной системы оставляет коэффициенты связности данной неголономной системы неизменными.
3.3. Обобщенное лоренцево преобразование в плоском пространстве с кручением. Рассмотрим обратный переход от коэффициентов связности в неголономной псевдодекартовой системе к коэффициентам связности в голономной псевдодекартовой системе:
Tknr = L\0Ln<«>L//> Y<»(0W+ L\s)drLnM = 0. (3.27) Это позволяет ввести величину
_ def
Ffcnr -[LkisflrLn^ = Чкпп
(3.28)
YVl = -Qftnr^O.
Очевидно, yknr можно рассматривать как «тензорные компоненты» коэффициентов вращения Риччи Y(A)(00>
Рассмотрим Tknr как коэффициенты новой, дополнительной связности, наложенной на голономную псевдодекартову систему координат и преобразуем их к той неголономной системе, которая участвует в их построении. Оказывается,
+ Lp{k)d(r)Lp(n) = 0. (3.29)
Преобразуем теперь Ткпг_к другой неголономной системе, не участвующей в построении Tzms. Тогда после преобразований находим
г W Jky \,<кУ А {п)'(гУ = Y (пУ(П--Y (пУ(г)' =
= L(k)\q)d{ryL{nyiq) ?= 0. (3.30)
Таким образом, Г{к)\пу(Гу—разность коэффициентов связности системы dx{hy и тензориальных компонент коэффициентов связности системы относительно системы dxW. Если система dx^ky переходит в голономную (Xfe), то
_ Tknr = Tknr - = - ?пг (3.31)
Связность Tftnr, содержащая обобщенное лоренцево преобразование, зависящее от голономных псевдодекартовых координат, является частным случаем связности с абсолютным параллелизмом [159, 230]. Пространство Минковского, в котором заданы эти голономные координаты, после наложения на него связности Thnr обобщается, переходя в пространство с абсолютным параллелизмом [54], обладающим кручением. Остановимся на этом детальнее. Предварительно рассмотрим кручение в случае простейшего обобщения пространства Мин-ковсклго, сохраняющего нулевую кривизну.
