Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
Голономные декартовы координаты СТО можно связать с соответствующим эрмитовым спинором второго ранга [64]:
где большими буквами обозначаются спинорные индексы, точка — комплексное сопряжение, HhAB—постоянные матрицы Паули. Они удовлетворяют соотношениям
С включением гравитационного поля, когда СТО становится справедливой локально, соотношение (2.3) обобщается — лоренцевы преобразования превращаются в локальные, а обобщенные матрицы Паули — в «спинорный аналог» коэффициентов Ламэ. Такой подход ставит вопрос о сравнении спиноров в двух бесконечно близких точках. Так как
Xk = hhABCAB>
(2.2)
YfcMiM* = Ikn = inv.
(2.3)
28 спиноры не имеют направления в пространстве — времени, понятие параллельности векторов заменяется понятием «эквивалентности» спиноров, что позволяет ввести спинорную связность
Чуй* ^dvM*+ Ta BvV (2.4)
И построить спинорную кривизну Rabhv> которую с помощью спинового аналога коэффициентов Ламэ можно связать с тензором Римана — Кристоффеля [64, 88—91].
Представляет интерес распространение указанного подхода на теорию нейтринного поля [92], а также на пространства с кручением [93—95].
Таким образом, общековариантная теория фермионных полей широко пользуется тетрадами, обобщенными коэффициентами Ламэ и их спинорными аналогами и содержит в основе своей локальные преобразования Лоренца. Развитие этой теории находится в стадии разработки общих вопросов теории. Основная цель — сближение теорий гравитационного и негравитационных полей и создание методов квантования гравитационного поля. Обобщенные матрицы Паули, а таким образом, и обобщенные преобразования Лоренца привлекаются для исследования законов сохранения с помощью обще-ковариантной формулировки теоремы Нётер [96—99].
Наряду с введением спиноров в ОТО посредством локальных лоренцевых преобразований развиваются подходы к их введению с помощью общих преобразований допустимых координат. Тогда спиноры вводятся в ОТО как объекты, преобразующиеся по представлению тех же преобразований, что и метрический гравитационный потенциал [100—103].
Оформление локальной справедливости СТО в спинорной форме, естественное для общековариантной теории спинор-ного поля, стимулирует в свою очередь разработку ОТО в спинорной форме как самостоятельную теорию гравитационного поля. Тогда метрический гравитационный потенциал принимает вид:
Sr» = KaA Aa> Ь»лв - hli Лв. (2.5)
Такое представление принесло пользу и для развития самой ОТО. Так, переходом к спинорной форме ОТО [104—111] удалось детализовать петровскую классификацию полей тяготения. Этот подход позволил также усилить извлечение полезных сведений из аналогии между теориями гравитационного и электромагнитного полей. При этом теория электромагнитного поля также формулируется в спинорной форме. Изучение указанной аналогии последние годы получает все большее развитие [112—126].
29 В макроскопической ' теории электромагнитного поля [127, 128], и особенно в релятивистской дуальной электродинамике [129, 132], а также в теории полей элементарных частиц [133, 134] используются два способа связи контро- и ковариантных компонент тензоров — с помощью метрического тензора и псевдотензора Леви-Чивита Eknrs (операция дуальности, D-операция). Этот псевдотензор так же, как и y)hn, лоренцинвариантен и поэтому тоже может быть привлечен для введения локальных преобразований Лоренца. Под влиянием других теорий в настоящее время усиливается введение D-операции и в ОТО [135—138]. В качестве примера полезности этого можно указать на появление нового способа [139] петровской классификации полей тяготения [19, 20], направленного на поиски физической интерпретации этой классификации.
Таким образом, сближение теорий гравитационного поля и других полей, в частности, идет по линии разработки всевозможных способов аналитического оформления в ОТО локальной справедливости СТО, т. е. всевозможных способов введения локальных преобразований Лоренца. Укажем еще один способ их введения, включающий локальные лоренцевы преобразования в более общие.
К исследованию взаимодействия между полями элементарных частиц привлекается принцип инвариантности .относительно преобразований с переменными параметрами («принцип локальной инвариантности»). При таком подходе поле, с которым взаимодействует некоторое исходное поле, получило название компенсирующего. Оно компенсирует нарушение инвариантности, наступающей в соотношениях теории свободного исходного поля в результате замены постоянных параметров преобразования переменными. Общая теория компенсирующего поля, охватывающая многие поля, предложенная в [27], получила дальнейшее развитие [28, 29, 140—158]. Согласно этой теории, взаимодействие исходного поля с гравитационным описывается посредством локальных преобразований Лоренца. Поэтому ОТО получила «компенсационную трактовку». Поскольку теория исходного поля строится на 10-параметрическом преобразовании Лоренца (группе Пуанкаре), это ведет к дальнейшему расширению б. м. лоренцева преобразования (1.41) на десятипараметриче-ское [28, 155, 156]:
