Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
2. Ila R = E1 стандартным векторным полем является d/dx. Пусть V = X2 (d/dx). Тогда кривые
x — c(t; X0)-^- >
(2.33) 214
Статья 7. Ч. M и г н е р
касательные к v, продолжаются от ? = 0, где х = х0, только на интервал — со Ct CHx0 (при X0> 0) или IIx0CtC + оо (при х0 <0).
Семейство кривых с (t; X0), касательных к v и удовлетворяющих условию с (0; z0) = ^o, можно использовать, чтобы определить отображения
exp {?v} : X с{1.\ х) (2.34)
на подмножествах многообразия M (здесь t не слишком велико). Обозначения через экспоненты оправданы ввиду того, что
exp {2v}-exp {20v} = exp {(?+ t0) v}. (2.35)
Чтобы доказать это, найдем отображения точки х0, следуя сначала левой, затем правой стороне равенства (2.35). Мы получим
c(t; c(t0; x0)) = c(t + t0; х0). . (2.36)
Обе стороны этой формулы удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению dl dt = v, компоненты которого даются уравнением (2.30), и одинаковым начальным условиям при t = 0; тем самым равенство установлено.
Зададимся на M некоторым векторным полем v, и пусть х = с (t; х0) с с (0; х0) = X0 есть семейство максимальных траекторий поля v. Обозначим через т (X0) наименьшую верхнюю грань тех значений t, для которых определены оба значения с (±?, Жо). Тогда или т (х0) становится произвольно малой, когда x0 перемещается по М, или же т (х) = оо для всех X. Для доказательства предположим противное, именно, что наибольшая нижняя грань т (х) есть
inf т (х) = т > 0. (2.37)
Тогда exp {?v} определена везде на M при | 11 < т. Но из равенства
exp ?v j - exp 2v j = exp {t\}
ясно, что exp {tv} определена везде (в силу левой части) при I 11 < 2т, что противоречит (2.37). Дифференциальная геометрия и топология
215
Векторные поля, траектории которых все допускают продолжение до бесконечных значений t, можно назвать полными векторными полями. Для такого векторного поля отображение ехр {tv} определено на всем многообразии M, причем для всех значений t. Так как ехр {—?v} благодаря (2.35) позволяет получить обратное отображение, то мы видим, что каждое полное векторное поле определяет группу автоморфизмов дифференцируемого многообразия. По зтой причине иногда говорят, что векторные поля определяют «инфинитезимальные преобразования», и считают V инфинитезимальным оператором движения, при котором точки смещаются вдоль кривых касательных к v. Так, векторное поле д/дц> на S21 о котором говорилось в приведенном выше примере, порождает повороты сферы S2 относительно оси Z. Зная элементы теоретико-множественной топологии, можно было бы доказать, что любое векторное поле на компактном многообразии полно.
Возьмем два векторных поля и и v и определим <р< = = ехр {—^u}. Это отображение будет определено на достаточно малых окрестностях любой данной точки х, коль скоро t взято достаточно малым. Таким образом, векторное поле <p*v — V будет определено в некоторой окрестности точки X опять-таки для достаточно малых t. Следовательно, векторное поле
(2.38)
определено всюду. Очевидно, что XuV измеряет изменения поля V, вызванные инфинитезимальными движениями вдоль и. Конструкция ?и\ называется производной Ли от поля V вдоль и. Вычисление правой части (2.38) в локальных координатах обнаруживает, что
#uv = [u, V]. (2.39)
Выполняя это вычисление, мы должны будем подчеркнуть, что tp*v означало у нас векторное поле, порождаемое V, и было определено только благодаря тому, что ф4 есть одно-однозначное отображение. Вектор (cpfv)sco в точке X0 получается из вектора vX{ в точке xt = ф_г (хо) при помощи отображения ф*, даваемого уравц^нием (2.21), 216
Статья 7. Ч. M и г н е р
и единственность его проистекает из того факта, что Xt является единственной точкой х, удовлетворяющей условию ф{ (z) = Xo- Действуя на функцию / G1^r (Z0), этот вектор дает
(<P*v)*o [/1 = <P*Vxt \f] =Vxt [фt*f] = Vxt If о ф(]. Мы можем, таким образом, написать
(ф?у)жо [/] = i;' (Xt) (*Л / (ф< (X)) =
г dq>f(x) -і
=^(ф-f ы)/, s ы L-^r-J
(*о)
После дифференцирования по t в точке t = 0, учитывая, что
at
<=о Дфр (*)
= Ui (х),
дх*
?=0 дхі
получаем уравнение (2.39).
дхі
Теорема Фробениуса
Уравнение
#„v = w, (2.40)
где UHW — данные векторные поля, представляет собой обыкновенное линейное дифференциальное уравнение первого порядка для V вдоль каждой кривой, касательной к и. Чтобы выделить отчетливее этот факт, перепишем его в локальных координатах:
(ад' = [и, Vl1 = Ityjk-Pyh (2.41)
и затем подставим сюда уравнения х = с (t) кривой, касательной к и:
-^-uU (<? (0)>* = (0)-. (2-42) Дифференциальная геометрия и топология
217
Теперь предположим, что нам даны К линейно независимых В каждой точке векторных полей Vj, V2, . . ., У Ki и мы хотим знать, существуют ли /^-мерные гиперповерхности, для которых эти векторы являются касательными. Если бы подобная гиперповерхность существовала, то ее можно было бы рассматривать в свою очередь как образующую многообразие ак с v* ? T ((Tir) и, следовательно, [vj, Vi/] ? T ((Tif). Таким образом, необходимое условие существования гиперповерхности, касательные пространства которой натянуты на Vj, заключается в том, что выписанные нами скобки Ли являются линейными комбинациями V;:
