Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
х(х) = хи у (х) = х2, z(x) = x3.
Поскольку каждая из этих функций дифференцируема во всех точках х из E3, то это верно и для х ? S2. В подходящих областях можно взять пары этих фуйкций в качестве локальных координат на S2. Например, пусть
N = {х G S2 IZ (х) > 0}.
Тогда каждой точке х на этой «северной» полусфере N соответствует единственная точка (х, у) ? E2 в соответствии с правилом
(х, у)> x = (X, у, 1Л— X2 — у2) .
Таким образом, пара функций х, у на N определяет одно-однозначное соответствие между N и областью (х\ + х\ <С <С 1) в E2. Для каждой функции /, определенной на S2 или N, существует соответствующая функция fN, определенная на зтой части E2 по правилу
In (®, г/) = /(х).
Допустимые координатные системы и дифференцируемые функции на многообразиях должны всегда быть совместны в том смысле, что / (х) дифференцируема тогда и только тогда, когда ее представление в локальной координатнойокрестности JJ, fv (х1, х2, . . ., хп) есть функция класса С00, заданная в соответствующей области En. Но это налагает условия совместности на различные координатные окрестности. На S2 мы могли бы определить другую' координатную окрестность, используя X VL Z в качестве координат в области
?• = {х е ^21 г/ (х) > о}. При этом точке (х, z) ? E2 Ставится в соответствие точка
X = (ж, Y^l-X2-Z21 z)
из E a S2. Каждая функция / на S2 имеет соответствующее представление в координатной окрестности E
fE(x, z) = f(x).202
Статья 7. Ч. M и з н е р
В частности, там, где EnN перекрываются, iV-коорди-наты обладают ^-представлениями
Xn = ХЕ,
yN = Yi-Х% —Z2E ,
и обратно,
Xe = Xn,
Ze = Y1 — Х% — У N .
Эти уравнения, таким образом, определяют одно-одно-значное дифференцируемое преобразование некоторой области евклидова пространства Ei
(;Xe, ZE) —> (Xn, yN)
и его дифференцируемое обращение. Дифференцируемую структуру многообразия M обычно определяют, покрывая его координатными окрестностями (U, х1). Координаты хг на окрестности U a M должны давать одно-однозначное отображение X —>- (ж1 (х), Xі (х), . . ., хп (х)) окрестности U на некоторую область En. Там, где две окрестности (U, Xі) и (V, у1) перекрываются, на U ("] У определено преобразование между областями En
(.X1 (х), хг (х), ...,хп (х)) (у1 (х), у2 (х), . .., уп (х)).
Это преобразование должно быть дифференцируемым в обоих направлениях, т. е. все функции X1 (у1, . . ., у71) и у1 (ж1, . . ., хп) должны быть функциями класса С°°. Поскольку преобразование обратимо, якобиан дхг Idyi будет иметь отличное от нуля значение. Очевидным следствием этих условий совместности является тот факт, что если функция / (х) на M представлена в некоторой окрестности (U, Xі) функциями класса С°°:
/ (х) = /и (я1. X2, ..., хп) на и,
то она представлена в (F, г/4) функциями fv (у1, уг, ... . . ., у11), принадлежащими классу Cao по крайней мере на той части En, которая соответствует в координатах у1 (х) пересечению U П У- Таким образом, дифференцируемые функции на M можно определить как такие функции / (х), представимые в каждой координатнойДифференциальная геометрия и топология
203
окрестности некоторыми функциями / (ж1, x2, . . ., аЯ), которые дифференцируемы в соответствующей области En.
Покрытие множества M множеством перекрывающихся координатных окрестностей, которые в областях перекрытия удовлетворяют условиям совместности, определяет дифференцируемую структуру на М, а также и топологию на М. Каждое подмножество множества М, которое лежит в отдельной координатной окрестности и соответствующий образ которого в En есть открытое подмножество множества En, считается открытым в М. Эти множества образуют базис для открытых множеств многообразия M и позволяют определить непрерывные функции на M и другие топологические понятия. Все дифференцируемые функции будут непрерывными.
II. Контравариантные векторы
Ниже я всегда буду предполагать, что нам дано некоторое дифференцируемое многообразие M и что все функции, отображения, кривые и т. д. дифференцируемы. Так как каждая точка х ? M принадлежит какой-либо координатной окрестности, то в каждой точке можно ввести координаты X1 (х) для локальных вычислений. Однако лучше избегать использования координат в основных определениях, чтобы не приходилось явным образом вводить полную систему частично перекрывающихся координатных окрестностей всякий раз, когда речь зайдет о каком-либо глобальном понятии, например о векторном поле, определенном на всем многообразии.
Весьма важное понятие касательного вектора возникает из рассмотрения двумерной поверхности, погруженной в трехмерное евклидово пространство. В этом случае стрелка, направленная по касательной к поверхности в какой-то точке, дает такое же независимое от координат представление о векторе, как, например, в ньютоновской механике, когда мы говорим об импульсе частицы.
Чтобы не представлять себе многообразия только как погруженные в евклидовы пространства, мы стремимся сделать эту стрелку бесконечно малой, так чтобы она не выходила за пределы многообразия во вмещающее пространство. Два эквивалентных определения, даваемые204