Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 1 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
где интегрирование проводится по полному телесному углу 4л. Вектор
F(r) дает величину и направление полного потока мощности. Он
используется в разд. 7.3 в связи с законом сохранения энергии.
Рассмотрим плотность энергии и (г) в точке г. Количество
энергии, покидающее за единицу времени dt малый элемент по-
верхности da по нормали к нему в телесном угле Ло и частотном
интервале (v, v -f- dv), равно / da du> dv dt. Эта энергия займет объем
da cdt, где с - скорость распространения волн. Поэтому плотность
энергии du(г) в единичном интервале частот равна
, , ч / da d(o dv dt I (г, s) da>
du W = -dacYtdv - = c ~' (7-5)
Складывая энергию, приходящую со всех направлений, получаем
плотность энергии
и (Г) = Y jj / (г, s) do\
4
л
(7.6)
Теория переноса излучения в случайном облаке частиц
169
В некоторых случаях удобно рассматривать среднюю интенсивность
?/(г) = -^- J/(r, (7.7)
4л
Средняя интенсивность, вообще говоря, не представляет собой поток
мощности; она пропорциональна плотности энергии.
Если лучевая интенсивность /(г, s) не зависит от направления s, то
излучение называют изотропным. Если лучевая интенсивность
излучения от элемента поверхности da изотропна, то мощность Р,
излученная этим элементом в направлении s, дается выражением
Р(Вт • стерад-1 • Гц-1) = (/ da) cos 0 = Р0 cos 0, (7.8)
где 0 - угол между направлением s и нормалью к поверхности da.
Соотношение (7.8) называют законом Ламберта [21].
7.2. Лучевая интенсивность в свободном пространстве и на
границах раздела однородных сред
Хотя мы рассматриваем распространение волн в случайно-
неоднородных средах, тем не менее полезно исследовать поведение
введенных в предыдущем разделе величин в свободном пространстве и в
однородной среде. Прежде всего мы покажем, что лучевая
интенсивность в свободном пространстве постоянна вдоль луча. На
первый взгляд это утверждение противоречит обычному представлению
о потоке мощности, распространяющемся в свободном пространстве, но
на самом деле оно вполне естественно. Докажем это.
Рассмотрим лучевые интенсивности 1\ и /2 в двух точках п и г2,
разделенных расстоянием г вдоль направления s, и два малых элемента
поверхности da\ и da2, перпендикулярные s (рис. 7.6). Выразим двумя
способами мощность, падающую на da2• Согласно (7.1), эта мощность
равна Iida\d(n\. С другой стороны, она должна быть равна I2 da2 d&2.
Но da\ dcoi == da2 dod2, поскольку da\ = r2 dco2 и da2 = r2 d(r)\, что и
доказывает постоянство лучевой интенсивности вдоль луча в свободном
пространстве. (Более удовлетворительное доказательство см. в разд.
14.7.)
В качестве примера рассмотрим излучение, исходящее в окружающее
пространство от сферы радиуса а (рис. 7.7). Предположим, что
излучение с поверхности сферы не зависит от направления, т. е. при r =
a /(г, s)=/0 = const, где вектор s направлен в произвольном направлении
наружу, и / (г, s) = 0 при
170
Глава 7
s, направленном внутрь сферы. Вычислим лучевую интенсивность на
расстоянии г от центра сферы. Вследствие постоянства лучевой
интенсивности в свободном пространстве имеем /(г, s)== = /о при углах
0^0^00, где 0o = arcsin -у. Плотность по-
da,
\ da2
-р___Д) =0 h da, dm,
da: j
CEZH
du>,
da г
=¦0 ={> /2 da2 dixit
Рис. 7.6. Доказательство инвариантности лучевой интенсивности в свободном
пространстве.
тока в радиальном направлении дается выражением Fr (г)
= F (г) ¦ г = ^ / (г, s) s • г dm =
2л 0j
= ^ </ф ^ sin 0 dQI0 cos 0 -= nl0 (у)2 • (7.9)
о о
Заметим, что, хотя величина I постоянна, Fr(г) уменьшается как г~2, что
и следовало ожидать на основании закона сохранения энергии. Полная
излучаемая мощность равна
Pt = Fr4nr2 - 4л2а2/0 (7.10)
и, конечно, не зависит от расстояния г. Плотность энергии и (г) дается
выражением
2я е.,
u(r) = \ J dcp \ sin 0dQIo = [ 1 - д/l -
(f)2]; (7.11)
У 9 '
Теория переноса излучения в случайном облаке частиц 171
средняя интенсивность равна
c/<r)=4[i- л/МлТ]- <7|2>
Рассмотрим теперь условие, которому должна удовлетворять лучевая
интенсивность на границе раздела двух сред с показателями
преломления ti\ и Пг (рис. 7.8).
Рис. 7.8. Лучевые интенсивности на
плоской границе двух однородных сред.
Для плоской волны, падающей на плоскую границу, коэффициент
отражения R = Er/Ei и коэффициент пропускания Т - = Et/Ei даются
выражениями
Rt-
Я±
-
Л| COS 82 - П2 COS 81 п]
COS 02 + П2 COS 0, П] COS
0| - П2 COS 02 Hi COS 0] +
n2 COS 02
T,
T±
-
2n. сое 0,
n2 COS 01 + n 1 COS 02 2Л, COS
0! n, COS 01 + n2 COS 02 '
(7.13)
где /?ц и Tи соответствуют электрическим полям, поляризованным в
плоскости падения, a R± и Т± - электрическим полям, поляризованным
перпендикулярно плоскости падения.
Очевидно, что отраженная лучевая интенсивность 1Т связана с /;
соотношением
Ir = \R\2li, (7.14)
, где R есть либо /?ц, либо в зависимости от поляризации.
Если волна не поляризована, то |/?|2 переходит в у(|/?ц|2 +
