Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
случаях-низких и высоких температур.
Пусть энергия Ферми для данной системы есть
еИЛоЦ^)7'^. (11.П8)
В области низких температур (kT <^l ер) используем разложение (11.24) для
kTv(ЛО2):
При этом (11.117) переходит в eF (2N+) - ЕР (2N - 2N+) -
- Г 1---------------------1-----1-4- ... =9иЯ СП 1 1 01
12 [е/,(2Д7+) 'f(2N-2N+)\
1) Ради осторожности необходимо проверить, что (11.115) определяет
максимум, а не минимум и что N+ лежит между 0 и N. Нетрудно убедиться,
что (11.115) имеет только один действительный корень, который
автоматически удовлетворяет этим требованиям.
2) Заметим, что в (11.24) символ гр означает энергию Ферми N бес-
спиновых частиц, т. е. имеет иной смысл, чем здесь.
§ 5. Парамагнетизм Паули
275
rlyci
. 2Лг+
-1 (- 1 </•<-)-1). (11.120) Тогда (11.119) принимает вид
(1 + ГГ - (1 - (j-)2 f(l + 1 -ЛГЧ + ¦. - = 22-.
(11.121)
При абсолютном ну
(l+rf-(l-r)"' = ^.
удовлетворяет уравнению 2
(11.122)
Уравнение может быть решено графически, как показано на фиг. 75. При
B<^eF/2р. приближенное решение выражается формулами
Таким образом, при В = 0 половина частиц имеет спин, ориентированный
вверх, половина - спин, ориентированный вниз. При В> 0
баланс нарушается в пользу частиц со спином вверх. Из (11.114) и (11.123)
получаем, что при абсолютном нуле
276
Гл. И. Идеальный ферми-газ
При О <.kT<§^tF и \iB<^_eF можно решить (11.121), разлагая левую часть
уравнения по степеням г\ тогда
Для высоких температур (kT^>eF) используем (11.12): v(/V)~ln(^l).
Поэтому из (11.117) получаем
,п[1ЮдП_,п ГАИ1_=
Фиг. 76. Парамагнетизм Паули.
Магнитная восприимчивость на единицу объема при этом дается формулой
TU-
Качественно ход кривой kTi показан на фиг. 76.
Задачи
11.1. Получить численные оценки энергии Ферми для
а) электронов в типичном металле;
б) нуклонов в тяжелом ядре;
в) атомов Не3 в жидком Не3 (объем, приходящийся i равен 46,2 А3).
Рассматривать все указанные частицы как свободные.
(11.127)
Задачи
277
11.2. Показать, что для идеального ферми-газа из N частиц свободная
энергия Гельмгольца при низких температурах дается формулой
11.3. Система свободных нуклонов помещена в ящик объемом V. Энергия
каждого нуклона с импульсом р есть
где тс2 = 1000 Мэе.
а. Считая, что не существует закона сохранения числа частиц, вычислить
статистическую сумму системы нуклонов (подчиняющихся статистике Ферми)
при температуре Т.
б. Вычислить среднюю плотность энергии.
в. Вычислить среднюю плотность частиц.
г. Выяснить необходимость закона сохранения частиц в свете предшествующих
вычислений.
11.4. а. Какова теплоемкость Cv трехмерной кубической решетки атомов при
комнатной температуре? Предполагаем, что каждый атом удерживается в своем
положении равновесия силами, подчиняющимися закону Гука.
б. Предполагая, что металл можно представлять как такую решетку атомов
плюс свободно движущиеся электроны, сравнить теплоемкость электронов с
теплоемкостью решетки при комнатных температурах.
11.5. Рассмотреть двумерный электронный газ в магнитном поле столь
большой напряженности, что эффекта де Гааза -ван Альфена не существует.
Учитывая как орбитальный, так и спиновый магнетизм, найти намагниченность
при абсолютном нуле.
Глава 12
ИДЕАЛЬНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ
§ 1. ФОТОНЫ
Рассмотрим равновесное состояние электромагнитного излучения,
заключенного в кубический объем V при температуре Т. Такую систему иногда
называют "абсолютно черной полостью". Практически такой системой может
быть полость в нагретом до некоторой температуры теле, в которой создан
полный вакуум. Атомы стенок полости непрерывно испускают и поглощают
электромагнитное излучение, так что в состоянии равновесия в полости
должно быть некоторое количество электромагнитного излучения и ничего
более. Если полость достаточно велика, то термодинамические свойства
излучения в полости не должны зависеть от природы стенок. Соответственно
этому можно наложить на поле излучения любые подходящие граничные
условия.
Как известно, гамильтониан свободного электромагнитного поля может быть
записан в виде суммы членов, каждый из которых имеет форму гамильтониана
гармонического осциллятора с некоторой собственной частотой. Это
соответствует возможности рассматривать поле излучения как линейную
суперпозицию плоских волн различных частот. В квантовой теории каждый
гармонический осциллятор с частотой ш может иметь только следующие
значения энергии: (п -)- '/2) Лео, где я = 0, 1, 2, ... Это приводит к
представлению о фотонах как квантах электромагнитного поля. Состояние
свободного электромагнитного поля характеризуется числами я для каждого
из осцилляторов поля. Другими словами, оно характеризуется числом
присутствующих фотонов каждой частоты.
Согласно квантовой теории электромагнитного поля, фотон можно
рассматривать как частицу с нулевой массой покоя, имеющую спин Ь и
определенный импульс и энергию. Фотон всегда движется со скоростью света
с. Из-за того, что фотон не имеет массы покоя, спин фотона может иметь
