Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
^(р+^)!=у"1"Р = -=г"(;'+т) и-=0' '¦ 2' •••>¦
(11.70)
Допустимые энергии электрона равны величине (11.70) плюс кинетическая
энергия движения вдоль направления В:
+ + (/ = °, 1,2... .), (11.71)
где рг есть компонента импульса вдоль направления поля. Она принимает
следующие значения:
рг=2Ш_ (/ = о, ±1, +2, ...). (11.72)
Рассмотрим теперь степень вырождения уровня е(рг, У). Это можно сделать
путем сравнения спектра (11.71) со спектром свободного
Фиг. 72. Импульсное пространство частицы.
Последовательные концентрические кольца имеют одинаковую^ площадь и,
следовательно,
электрона в отсутствие магнитного поля. Это значит, что при фиксированном
рг мы сравниваем спектры, описываемые выражениями
шМ + е',) ¦ -=-"(' + ?)¦
В двумерном пространстве переменных рх, ру энергетические поверхности
представляют собой окружности. Разделим это пространство на
концентрические кольца одинаковых площадей, как показано на фиг. 72.
Каждая кольцеобразная область содержит одинаковое число состояний. При
включении поля энергия состояния изменяется только на конечную величину.
Чтобы энергетический спектр перешел в экви-
Гл. И. Идеальный ферми-газ
дистантный дискретный спектр, энергия всех состояний, находившихся
первоначально в данной кольцеобразной области, должна при включении поля
стать равной одной и той же величине. Следовательно, степень вырождения g
уровня е(р2, j) при данном рг одинакова для всех у и равна числу
состояний свободных частиц, удовлетворяющих условию
р\ + р\ еЬВ
~^БгГ^ <~тГ' (".73)
Пусть р определяется равенством (p2/2m) - (eh/mc) В. Тогда
V2/8 п V2!* еВ
g = - npi = -1-. (11.74)
Присутствие магнитного поля приводит к ^-кратному вырождению уровней
энергии свободных электронов, как показано на фиг. 73.
Фиг. 73. Сравнение энергетического спектра заряженной частицы при наличии
и в отсутствие магнитного поля.
Физически это вырождение обусловлено тем, что в магнитном поле энергия
орбиты не зависит от положения ее центра. Чтобы объединить (11.74) и
(11.71), удобно характеризовать каждое состояние отдельного электрона
квантовыми числами (р2, у, а), где а пробегает значения от 1 до g:
е(Р" J. = ^ + (1L75>
причем
Pz = ^Ll (1 = 0, ± 1, ±2, ...),
у = 0, 1, 2........
а==1, 2. .... g.
(11.76)
§ 3. Диамагнетизм Ландау
Статистическая сумма есть
Qn= ехр|- p2<V"n). (11.77)
где к обозначает набор квантовых чисел (рг, /, а), а штрих у знака суммы
указывает, что должны учитываться ограничения
Лл = 0, 1,
(11.78)
2 пх = N.
Большая статистическая сумма дается формулой
й=П0+"~^) (П.79)
In S = 21п(1 + ге_Ве".)= 2 Д21п(1 + 1-а)) =
= Jdp ^"(l+ "-*<*•'•¦)). (11.80)
Среднее число электронов есть
(iL8i)
Изучим свойства системы при высоких и низких температурах.
При высоких температурах из (11.81) следует, что z-> 0, ибо только в этом
случае среднее число электронов остается конечным. Поэтому достаточно
сохранить только первый член в разложении (11.80) по степеням z:
в " dP%'Xt t _ Р [? + ^ (' + Ш' (1, 82)
In 6.
Явное вычисление дает
J_ 1п 6 ^ lZ--. (11.83)
V 2я2 Ьгс г Р \ - е~2х
где
(п-84>
Гл. 11. Идеальный ферми-газ
При слабых полях разлагаем (11.83) около точки х - 0:
где X- тепловая длина волны. Из (11.58) и (11.61) находим
Чтобы исключить г, используем (11.82) и (11.85); тогда в пределе 3^-0
получаем
Следовательно, при высоких температурах магнитная восприимчивость на
единицу объема как функция температуры Т и удельного объема г/ дается
соотношением
Мы получили зависимость вида 1/Т в согласии с законом Кюри. Постоянная
Кюри равна
ее происхождение связано с квантованием орбит. Действительно, eh/2mc есть
не что иное, как магнитный момент наименьшей допустимой орбиты.
При Т -> 0 величина % приближается к значению, которое зависит от
напряженности поля В и при изменении В изменяется скачкообразно. Мы
изучим это явление ниже.
Исследуем орбитальный магнетизм идеального ферми-газа, обсуждавшийся в
предшествующем параграфе, при абсолютном нуле температуры. Если Е0 есть
энергия основного состояния системы, то индуцированный магнитный момент
на единицу объема при абсолютном нуле дается просто равенством
(11.86)
§ 4. ЭФФЕКТ ДЕ ГААЗА-ВАН АЛЬФЕНА
о41-
1 дЕ0
(11.89)
V дВ
Магнитная восприимчивость на единицу объема при абсолютном нуле равна
§ 4. Эффект де Гааза - ван Альфена
Таким образом, достаточно получить Е0 как функцию В. Чтобы упростить
расчеты, будем пренебрегать движением электронов вдоль направления В и
положим pz= 0. Следовательно, мы рассматриваем двумерный ферми-газ.
Одночастичные уровни энергии даются при этом формулой
+ (У=0, 1. 2, ...); (11.91)
каждый уровень g'-кратно вырожден, причем _ L" еВ g~ 2л Tic '
(11.92)
где L2 есть полная площадь, занимаемая двумерным ферми-газом.
Энергия основного состояния Е0 есть сумма е;- по N нижним одночастичным
состояниям. Поскольку g зависит от В, максимальное число частиц, которые
могут иметь энергию е;-, зависит от В. В том случае, когда поле В таково,
что g'^-N, все частицы могут занимать самый нижний энергетический уровень
