Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
интегральному уравнению
0 = / d*v2J dSo (2) | v2 - v, | [/0(v') /0 (v,') - /0 (v2) /0 (v,)],
(4.1)
где v, - заданная скорость.
Чтобы функция /0(v) была решением уравнения (4.1), достаточно выполнения
условия
/o(v0 /o(v,') - /o(v2)/o(vi) = (4-2)
где |V,, v2] -> {vj, v2) -любое возможное столкновение (т. е.
столкно-
вение с не равным нулю сечением рассеяния). Мы покажем, что это условие
является также необходимым, и, таким образом, придем к интересному
заключению, что функция /0 (v) не зависит от о (2), когда последнее не
равно нулю.
Чтобы показать необходимость условия (4.2), определим, следуя Больцману,
функционал
H(t)= j d3v,f(\. t)In/(v, t), (4.3)
где /(v, t) - функция распределения в момент времени t, удовлетво-
ряющая уравнению
= / d3v2 / dQo (2) | v2 - v, | (/'/,' - /2/j). (4.4)
Дифференцируя (4.3), получаем
(r)-= J>"-4^2-[l+ln/(v. 01- (4-5)
§ 1. М-теорема Больцмана
Следовательно, если df/dt = 0, то и dH/dt - 0. Это означает, что
необходимым условием выполнения равенства df/dt = 0 является равенство
dH/dt = 0. Покажем теперь, что условие
эквивалентно условию (4.2), Отсюда будет следовать, что условие (4.2)
является также необходимым условием для решения уравнения
(4.1). Итак, докажем следующую теорему.
//-теорема Больцмана. Если функция / удовлетворяет уравнению переноса
Больцмана, то
^<0. (4.7)
Доказательство. Подставляя (4.4) в подынтегральное выражение в (4.5),
получаем ')
^- = f d3vt f d3v2 Jd2a(2)|Vl - v2|(/j/j -/2/,)(1+ln/j). (4.8)
Этот интеграл не меняется при взаимной перестановке переменных V] и v2,
поскольку сечение a(2) инвариантно относительно этой перестановки.
Совершая эту замену переменных интегрирования и беря половину от суммы
нового выражения и прежнего выражения (4.8), получаем
ЧГ = J / d3v> IIdQa (2) I v2 - VII Wx - f'Ji) [2 + 1п (/,/*)]•
(4.9)
Этот интеграл инвариантен относительно взаимной перестановки {vr v2} и
lvr v2}' так как кзждому прямому столкновению соответствует обратное
столкновение с тем же самым сечением рассеяния. Следовательно,
= *4 / f dQa' (Q) | V' - vj | (/2/, - /'/() [2 + In (/;/')].
(4.10)
Замечая, что d3v'xd3v/2 = d3vxd3v2, | vj- vj | = | v2 - Vj | и a' (2) = a
(2), возьмем половину суммы выражений (4.9) и (4.10), в результате чего
получим
^ = т/ rf3(r)1 / rf3(r)2f dQa(Q)\\2~ Vl|X
X (/?/,' - /2/,) [In (/,/2) - In (/j/')]. (4.11)
') Используя уравнение (4.4), мы подразумеваем, что состояние
рассматриваемой системы удовлетворяет предположению о молекулярном хаосе.
84
Гл. 4. Равновесное состояние разреженного газа
Подынтегральное выражение в (4.11) никогда не бывает положительным, что и
требовалось доказать.
Как побочное следствие этого доказательства мы получаем, что dHjdt= 0 в
том и только в том случае, когда подынтегральное выражение в (4.11)
тождественно равно нулю. Это доказывает, что равенство (4.6) эквивалентно
(4.2). Отсюда следует также, что при произвольных начальных условиях /(v,
t)->f0(v) при ^->co.
§2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА - БОЛЬЦМАНА
Мы показали, что равновесная функция распределения /0(v) является
решением уравнения (4.2). Будем называть ее функцией распределения
Максвелла - Больцмана. Чтобы определить ее, прологарифмируем обе части
уравнения (4.2):
ln/o(vi) + ln/o(v2)=ln/o(v;) + ln/0(v'). (4.12)
Так как |vr v2] и [v', v2J являются соответственно начальными и конечными
скоростями молекул в любом возможном столкновении, соотношение (4.12)
имеет вид закона сохранения. Если x(v) - некоторая величина, связанная с
молекулой, имеющей скорость v, и обладающая тем свойством, что x(Vi) +
X(v2) сохраняется при столкновении между молекулами со скоростями Vj и
v2. то решение уравнения (4.12) имеет вид
ln/0(v) = x(v).
Наиболее общее решение (4.12) записывается следующим образом: I'i/o(v) =
Xi(v)-t-x2(v) +
где последовательность функций ц- Хг- ••• -совокупность всех независимо
сохраняющихся величин. Для бесспииовых молекул такими величинами являются
энергия и импульс молекулы, а также, конечно, произвольная постоянная.
Следовательно, 1п / является линейной комбинацией V2, трех компонент
скорости v и произвольной постоянной: ln/0(v) = -H(v-v0)2 + lnC,
/0(v) = Ce-* <*-*>*, (4.13)
где С, А и три компоненты v0 - пять произвольных постоянных. Мы можем
выразить эти постоянные через наблюдаемые величины, характеризующие
систему.
Используя условие (3.5) и обозначая плотность частиц N/V через п,
получаем
п = С j dsve~A = С j d3ve~A"2 = С ^ j!'!,
Определим среднюю скорость молекул газа
(4.15)
тогда
(v)=-j J d3vve-¦/'(v-voi' - Ji J Vo)e-^_ Vo- (4.16)
Следовательно, если газ в целом не имеет поступательного движения, мы
можем положить v0 = 0.
Вычислим далее среднюю энергию молекулы е, определяемую следующим
образом:
Таким образом, постоянная А связана со средней энергией молекулы
Подставляя ее в (4.14), получаем для постоянной С выражение
Чтобы связать среднюю энергию е с непосредственно измеримыми величинами,
найдем уравнение состояния газа, описываемого равновесной функцией
