Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
осуществления данного поворота в пространстве, или отражения в данной
плоскости, или в результате комбинации этих преобразований.
Определим обратное столкновение как такое столкновение, которое
отличается от данного прямого столкновения перестановкой начального и
конечного состояний. В силу только что сформулированных свойств симметрии
обратное столкновение имеет такое же сечение рассеяния, как и прямое:
o(vr v2|vj, v') = О (vj, v) I Vj, V2). (3.25)
Для доказательства предстают столкновение в виде схемы А на фиг. 33,
смысл которой яссг! из самого рисунка. Расположенная ниже схема А' имеет
тот же смысл, что и фиг. 30. Сечение рассеяния для этого столкновения
имеет такую же величину, как и для обращенного во времени столкновения,
которому соответствует схема В. Повернем теперь систему координат на 180D
относительно некоторой оси п, перпендикулярной к полному импульсу
молекул, а затем отразим ее относительно плоскости рр', перпендикулярной
к п. В результате мы получим столкновение D, которое является обратным к
данному и которое имеет такое же сечение рассеяния в сил}' соотношений
(3.23) и (3.24).
Если молекулы обладают спином, то в соотношения симметрии (3.23) и (3.24)
необходимо ввести поправки. Используя трансформационные свойства
спинового квантового числа относительно обращения времени,
пространственного поворота и отражения, мы придем формально к тем же
соотношениям (3.23) и (3.24), если будем считать, что v одновременно
обозначает как скорость, так и спиновое квантовое число. Тогда ясно, что
соотношение (3.25) остается справедливым, если каждое сечение рассеяния
заменить суммой сечений
(3.22)
(3.23)
§ 2. Бинарные столкновения
V
рассеяния по всем спиновым квантовым числам в начальном и конечном
состояниях.
р Р
р' Р'
В' С' D'
Ф и г. 33. Переход от прямого столкновения к обратному.
При классическом описании столкновений мы встречаемся с такими
свойствами, которые не имеют места в молекулярных столкно-
Прямое столкновение Обратное столкновение
Л° Z~V ГЧ. столкно- * "* [ "а- ts -О
СЙ.,._(c) вения ч-у 1 Y) После ч^/ столкновения /\ %
Фиг. 34. Классическое столкновение между макроскопическими объектами
вениях. В частности, при классическом столкновении двух макроско пических
объектов соотношение (3.25) может и не выполняться В качестве конкретного
примера рассмотрим столкновение межд;
Гл. 3. Проблемы кинетической теории
сферой и клином, сделанных, например, из бетона. Взглянув на фиг. 34, мы
сразу же видим, что обратное столкновение может сильно отличаться от
прямого. Однако этим свойством, очевидно, не обладают молекулярные
столкновения. Состояние молекулы полностью определяется полным импульсом,
спиновым квантовым числом и внутренними квантовыми числами. В
столкновениях при комнатных температурах энергии молекул обычно
недостаточны, чтобы изменить внутренние квантовые числа. Поэтому
внутренние квантовые числа можно не учитывать, и тогда соотношение (3.25)
будет верным.
§ 3. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА БОЛЬЦМАНА
Чтобы получить явное выражение для члена столкновений (df/dt)столк,
сделаем следующие приближения:
а. Учитываем только бинарные столкновения. Это справедливо, если газ
достаточно разрежен.
б. Пренебрегаем действием стенок сосуда. Позже мы покажем, почему такое
приближение оправдано.
в. Пренебрегаем действием внешних сил на сечение рассеяния.
г. Принимаем, что величина скорости молекулы не связана с ее положением в
пространстве.
Предположение "г" известно под названием предположения о молекулярном
хаосе. В более строгой формулировке оно устанавливает, что в элементе
объема d3r число пар молекул, имеющих скорости, лежащие соответственно в
элементах объема d3vj вблизи Vj и d3v2 вблизи v2, равно
[/(г, V|, t)d3rd3vl\ [/(г, v2, t)d3rd3v2\. (3.26)
Это предположение вводится из соображений математического удобства при
описании состояния рассматриваемого газа. Очевидно, что такое условие для
газа является возможным, однако не очевидно, является ли оно общим. Более
подробно этот вопрос мы обсудим в гл. 4, § 4.
Обратимся теперь к вычислению (df/dt)столк. Определим скорость уменьшения
/(г, v,, t), вызванного столкновениями молекул, которую в (3.10) мы
обозначили через R. Для этого рассмотрим какую-нибудь молекулу в элементе
объема d3r вблизи г, скорость которой лежит в пространстве скоростей в
элементе объема d3v] вблизи v,. В том же самом пространственном объеме
имеются молекулы с произвольными скоростями v2, которые можно
рассматривать как пучок частиц, падающих на молекулу, имеющую скорость
Vj. Плотность потока падающих молекул равна
I - [/(г, v2, 0^2] К - v2|.
(3.27)
§ 3. Уравнение переноса Больцмана
79
Функция / в (3.27), согласно предположению о молекулярном хаосе,
совпадает с рассматриваемой функцией распределения. Число столкновений
типа *) (Vj, v2] -> {Vj', v2j, происходящих в элементе объема d3r в
течение времени bt, равно
/а (2) dQ bt = f (г, v2, t) d3v2 | v2 - Vj | a (2) dQ bt, (3.28)
