Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
Можно выразить В1т через ф(т следующим образом:
= (27ТГГГ Ur^h- (Б- 8)
Таким образом, нам не нужно явно выписывать числа А1т, зависящие от
граничных условий при большом г. Мы сразу же замечаем, что повсюду
(V+ k*){YlJl(kr)]=0. (Б. 9)
Поэтому достаточно вычислить величину
K(^(r) = (V2+?2)[K(mn((6r)], (Б. 10)
(V2 + tf) ф^ (Г) = - 2 2 А1т tg Г),УШ (0, Ф) Ft (г). (Б. 11)
Нетрудно показать, что
W = [-w4?r2-fr + k2- 1} ] n'{kr)' (Б' 12)
эта функция равна нулю всюду, за исключением точки г = 0. Умножая Ft(r)
на г1 и интегрируя результат по малой сфере бесконечно
502
Приложение Б
малого радиуса е около начала координат, находим, что при е -> 0
по всем углам, образуемым вектором г. Правая часть уравнения (Б. 15)
содержит точный псевдопотенциал.
В общем случае решение уравнения (Б. 15) не единственно Однако оно
становится единственным, если потребовать, чтобы функция ф^/") повсюду
сводилась к волновой функции свободной частицы, когда все фазовые сдвиги
положены равными 0. Это условие эквивалентно тому, что v(r) не образует
связанных состояний.
(Б. 13)
Отсюда заключаем, что
с (2i-l)!l(i+l) ь (г)
+1 ^ 2
(Б. 14)
Поэтому
(V* + А") (О = - 6 (г) (гфJ +
где
(Б. 16)
обозначает интегрирование в сферических координатах
Приложение В ТЕОРЕМЫ ЯНГА И ЛИ
§ 1. ДВЕ ЛЕММЫ
В этом приложении рассматривается та же система, что и в гл. 15 и в тех
же обозначениях, если не оговорено иное.
Пусть Qn(V) - классическая статистическая сумма системы. Объем V будем
считать составленным из кубов. В соответствии с этим объем V может быть
покрыт числом у элементарных кубов одной и той же величины. Внутри
каждого элементарного куба построим меньший куб, называемый ячейкой,
каждая грань которого находится
на расстоянии г0/2 от ближайшей грани элементарного куба,
содержащего данную ячейку. Таким образом, объем V
содержит у ячеек,
расположенных на расстоянии г0 друг от друга. Две частицы, находящиеся в
различных ячейках, между собой не взаимодействуют. Все это построение
схематически представлено на фиг. 135. Пространство между ячейками
назовем коридором. Объем каждой ячейки обозначим через V0, а объем всего
коридора - через Vc. Тогда
Vc = V - yV0. (В. 1)
Очевидно ').
Vc < cyr:>V0\ (В. 2)
>) См. рассуждения, предшествующие формуле (15.25).
504
Прилпжение В
где с - численная постоянная, так что VJV-> 0 и ПРИ
И0->со. Пусть N, V и Н0 все время таковы, что все N частиц могут быть
размещены по ячейкам и никакие две частицы из разных ячеек не "касаются"
друг друга.
Определим сравнительную статистическую сумму $;у(У, И0) как
статистическую сумму системы при условии, что ни одна частица не попадает
в коридор.
Если большая статистическая сумма системы объемом V есть 6 (z, И), тогда
соответствующая сравнительная большая статистическая сумма имеет вид
jS znQn (У. И0) = [6 (z. n0)]v. (В. 3)
Докажем следующие леммы.
Лемма 1.
[6 (*. H0)]v<6(*, Ю<[6(г, H0)]v^,
где а' есть конечная постоянная, не зависящая от z, V и Н0, а М -
максимальное число частиц в коридоре
М = < const ^ yVf. (В. 4)
Лемма 2.
Qn(V. V0XQn(V)^Qn(V, V0)e°M, где а - постоянная.
Доказательство. По определению,
qn (П) = _L_ J d3Nre~№ б (В. 5)
Qn(V. П0) = _1^ J davre-fio О. (В. 6)
V
где символ V у знака интеграла означает, что интегрирование по каждой
координате rt производится по внутреннему объему у ячеек. Интеграл в (В.
6) получается из (В. 5), если опустить некоторую область интегрирования.
Поскольку подынтегральное выражение в (В.5) неотрицательно, имеем
Qn(V)>Qn(V. По). (В. 7)
откуда непосредственно следует
6(2, V) >[6(2, V0)]\ (В. 8)
Теоремы Янга и Ли 505
Обозначим через qNtl вклад, вносимый в QN(V) конфигурациями, в которых в
коридоре находится ровно I частиц, а остальные N- I частиц находятся в
ячейках. Тогда
Qn<Y)='L4n.i. (В. 9)
где М' есть наименьшее из чисел М и N. Очевидно, что 2 zN4n,i есть вклад,
вносимый в S(z, V) конфигурациями, в которых точно I частиц находятся в
коридоре. Поэтому
М оо
fi(^)=2 (в. 10)
Пусть у обозначает координаты всех I частиц, которые находятся в
коридоре, а х- координаты оставшихся N - I частиц, лежащих в ячейках.
Потенциальная энергия может быть очевидным образом разложена на три
составные части:
Q = Qxx-\-Qyy-\-Qxy.
Поэтому
(В- И)
Поскольку каждая частица может взаимодействовать не более чем с (Лд/а)3
другими частицами, а каждое взаимодействие дает в подынтегральном
выражении в (В. 11) самое большее множитель е5е, мы можем получить
верхнюю границу для qNi;, заменяя ехр [-р -f-
на ехр [/ре (г0/а)3]. Таким образом,
Г 1 Г -во 1 V1/^^
J dXe i i^il '
Но первый множитель есть QN_t(V, И0). Поэтому где аг - конечное число
о'= 4 (j-J (В. 13)
Из (В. 12) получаем
Ё ^AT.J<i?7r- Ё zNQn(V' V0) = -^^[Q(z, H0)]v.
N=l ' ff=Q
33 К- Хуанг
506
Приложение В
Подставляя это выражение в (В. 10), находим (замечая, что z~^> 0) а (г.
V) < [S (г, K0)]v g < [S (г, е"'". (В. 14)
Вместе с (В. 18) это доказывает лемму 1.
Если увеличить N в Qyv_, на единицу, то притягивающее взаимодействие
