Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
(A. 42)
Система N тождественных частиц
493
§ 3. МЕТОД КВАНТОВАННЫХ ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ ')
Система N частии эквивалентна квантованному полю. Эта эквивалентность
часто плодотворно используется при вычислении энергетических уровней и
статистической суммы системы N частии.
Квантованное поле есть система, характеризуемая полевыми операторами
ф(г), которые определены для всех значений координаты г и действуют в
гильбертовом пространстве. Вектор в гильбертовом пространстве
соответствует состоянию квантованного поля. Покажем, что квантованное
поле может быть определено так, что его гильбертово пространство содержит
гильбертово пространство данной системы N частиц. Ради простоты будем
считать, что все наши частицы являются либо тождественными бесспиновыми
бозонами, либо тождественными бесспиновыми фермионами.
Вначале определим квантованные поля, соответствующие бозонам и фермионам.
Полевые операторы для этих двух случаев определяются следующими
перестановочными соотношениями:
Бозоны Фермионы
№(Г). ф+(г')1=6(г-г') {ф(г), ф+(г')}=6(г -г')
N>(r), ф(г')] -0 {ф(г), ф(г')! =0 (А. 43)
[ф+ (г). ф+ (г')] = 0 [ф+ (г), ф+ (г')} = 0
где ф+- оператор, эрмитово сопряженный с ф, и \А, В] = АВ- В А; [А, В) =
АВ +-5Л.
Определение квантованного поля завершается определением двух эрмитовых
операторов - гамильтониана Н и оператора числа частиц А/олер-
Гамильтониан есть H = K + Q,
к " ~ ш J rf3r,),+ (г) (г)' (А •44)
Q = ^ J (r-t) ф+ (г2) г>,2ф (г,) ф (г2),
где г)12 = г"(Г], г2). Оператор числа частии имеет вид
Nonep= J (г) ф (г). (А. 45)
Эти определения справедливы и для бозонов и для фермионов. Нетрудно
проверить, что
\И• ^олер] = 0' (А. 46)
') Этот метод называется также методом вторичного квантования.- Прим,
ред.
494
Приложение А
Следовательно, Н и Л(опер могут быть одновременно диагонализованы.
Покажем, что общее собственное состояние операторов Н и jVonep есть
собственное состояние системы с определенным числом частиц.
Выберем полный ортонормированный базис гильбертова пространства так, что
всякий вектор | Ф") из этого базиса является одновременно собственным
состоянием Н и Nlmeр. Обозначим один из векторов этого базиса символом
14f?/v); для него имеем
Состояние 10) = | VF00), называемое состоянием вакуума, предполагается
единственным. Его свойства таковы:
Таким образом, оператор ф(г) уменьшает N на 1, а оператор ф+(г)
увеличивает JV на 1. Повторным применением оператора ф+(г) к состоянию
|0) можно показать, что собственные значения М0"ер равны
Поскольку ф(г) уменьшает N на 1, а состояние с N = 0 является
единственным, имеем тождество
<Фл|ф(1)ф(2)...ф(Л0|Ч'я"> = 0, если |Ф">=Н0>, (А.52) где ф("У) = ф(гу).
Определим функцию N пространственных координат г1( tn соотношением
В силу (А. 43) эта функция симметрична (антисимметрична) относительно
перестановки координат любых двух бозонов (фермионов).
"14%) = ?14^).
(А. 47)
<0|0>=1, /у I о> = О,
^о"ер|0) = 0.
(А. 48)
Из (А. 45) и (А. 43) нетрудно получить, что
(А. 49)
(А. 50)
N = 0, .1, 2, . . .
(А.51)
Система N тождественных частиц
495
Норма функции •••, N) равна единице, т. е,
/ d3V^(l, ЛО?ялг(1. .... Л7)=1. (А. 54)
Доказательство. Пусть / = J d3NrW'EN( 1, N)Wen(1, ..., N) =
= ж/ ••• Ф+(1)|0><0|ф(1) ...ф(А^)|^>.
В соответствии с (А. 52) можно написать
'=ш!азКгЪ ^ | ^ (Л° • • • ^ (1) | ф"> <ф" | * (1) • • • ф (^) I ^>= = Ж /
<^лг I №+ (ЛО • • • Ф+ (1)1 № (1) • • • Ф (АО! | ?ялг>.
Проведем теперь интегрирование по гР При этом появляется множитель
/ ^1Ф+(1)Ф(1) = Л^опер.
Далее проведем интегрирование по г2. Это приводит к множителю
f dЗг2ф+ (2) /Уоперф (2) = Nonep (/Vonep - 1).
Методом индукции можно показать, что
I = Ж ФВЫ I ^опер (А^опер ~ 1) (Л^ер - 2) . . . 1 | VEfl) = 1,
что и требовалось доказать.
Соотношение между квантованным полем и системой N частиц устанавливается
следующей теоремой.
Теорема.
(-•?S V'-+ N) = E4bnQ.N). (A. 55)
Доказательство. Согласно (A. 47) и (A. 53), y==" (0 | [ф (1) ... ф (/V)]
H | VEN) = (1.......N). (A. 56)
Поскольку Я|0) = 0, a H представляет собой эрмитов оператор, имеем также
(0|Я = 0. Поэтому левая часть (А. 56) имеет форму
Приложение А
коммутатора:
У = yW(011Ф (1) •' • ф (Af)1 w 1 ^ = =7=Ч°|[фо)---ф(ао, "луЕн)=
= ^r=S<°l*(1) - * * №СЛ. "1 ...ф(Л0|Чг?ДГ>, (А.57)
причем последнее равенство получается путем применения тождества \АВ, С]
= [Л, С\В + А [В, С].
Вычислим в явном виде [ф(/), Н]. Из (А. 44) получаем
[ФО'Х "] = 1ФС/Х К1 + 1ФСА й].
Для бозонов [ФСЛ К] = - ~ f <fir [ф (/). Ф+ (г) Ф2Ф (г)] =
= - ? / d3r 1ф V). Ф+ (г)] ?2Ф (г) = - ^ СУ).
№С0. Й] = i { d3r, d3r2 [Ф (У), Ф+(1)Ф+(2)]"иф(2)ф(1) =
= if {[ф (У). ф+ (1)] ф+ (2)+ф+ (1) [ф(/). ф+ (2)1} "12Ф(2) ф (1)=
= [/ tf>n|>+(r)"(r, Гу) ар (г)] ф (У).
Для фермионов
[ф (А К] = - - f (fir № СУ). Ф+ (г) ?2Ф (г)] =
= ~ ? / d*r (^' (г)1у2ф (г) = - Ш (Д
НИ/), Й] = 4/ ^^МФО'Х ф+(1)Ф+(2)] к12ф(2)ф(1) = = 1 f d3// d*r2 [{ф(/),
ф+ (1)) ф+ (2)-ф+ (1) (ф(/), Ф+ (2)11 в,2ф (2)ф(1) = = [/ йГЗгф+(г)(r)(г.
