Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
представителем произведения коммутирующих плоских вращений. Этот
множитель возникает вследствие наложения тороидального граничного условия
(т, е. условия sn+i = Sj на каждой строке решетки). На первый взгляд это
условие кажется ненужным и искусственным усложнением, но на самом деле
оно облегчает решение стоящей перед нами задачи.
Гл. 17. Решение Онсагерй
Подставляя (17.67) и (17.65) в (17.63), получаем V==V2VI = e'lfUrir*'>
[ne-^sa+1rtoj [Дг'вг.л,., j _ (17 69)
Ф = ре, е > О, 0 = arthe-2|P.
Матрица U обладает следующими важными свойствами:
а) U2= 1, U(l + U)=l+U. U(l-U)= -(1 -U). (17.70)
б) и = ;лГ1Г2 . . . Г2п, (17.71)
в) U коммутирует с произведением четного числа матриц
и аитикоммутируег с произведением нечетного числа матриц Гц '). Простое
вычисление показывает, что
^фг.г^и = [i(1 + U) f ^(1_и)][сЬф + йрГ^^и sh ф] =
= у (1 + U) [ch Ф + !ФГ,Г2(1 sh ф] +
4 у (i - U) [ch ф - /фГ!Г2л sh ф] =
= у (1 -f U) е,<рг'г" + у (1 - U) (17.72)
Подставляя этот результат в (17.69), находим
V = y(l+U)V4 +y(l-U)V". (17.73)
Уь = гфГ1г2л [nV^2a+1r2aj [ Д е~ ЮГлт2к-1 j . (17.74)
Таким образом, матрицы V+ и V- являются спиновыми представи-телями
вращений.
Представление, в котором матрица U диагональна
Очевидно, что три матрицы [_), V+ и V" коммутируют друг с другом. Поэтому
они могут быть одновременно диагонализированы. Преобразуем вначале V в
представление, где диагональна матрица U (но матрицы V* не обязательно
диагональны):
RVR'1^ V =1(1 + I)) V+ + у (1 - U) V'. (17.75)
U = RUR 1 (17.76)
__________ V±ssRV±R-1. (17.77)
¦) Это непосредственно следует из (17.71) и (17.41). В случае п = 2
матрица U обычно обозначается как у5 = у!у2у3у4.
$ 3. Решение
397
Поскольку U2=l, собственные значения U равны либо -f-1, либо -1. Из
равенства (17.68) видно, что U можно записать как U = -V X ^ X ••• XX.
Следовательно, диагональная форма U есть Z X 2 X X Z, причем собственные
значения +1 и -1 встречаются с одинаковой частотой. Другие диагональные
формы (J могут быть получены путем перестановки собственных значений на
главной диагонали. Выберем R таким образом, чтобы все собственные
значения -f-1 принадлежали одной субматрице, а собственные значения - 1 -
другой субматрице; тогда матрица U принимает вид
где 1 есть 2Л '-мерная единичная матрица. Поскольку матрицы V*
коммутируют с U, они должны иметь вид
диагональными. Теперь очевидно, что при умножении слева на матрицу '/гО +
О) исчезает нижняя субматрица, а при умножении на матрицу */2(1-U)
исчезает верхняя субматрица
Чтобы диагонализировать матрицу V, достаточно диагонализи-ровать V, так
как система собственных значений матриц V и V оди-
(17.80) и (17.81) порознь и независимо, так как каждая из этих матриц
имеет только я отличных от нуля собственных значений. Комбинированная
система их отличных от нуля собственных значений составляет систему
собственных значений матрицы V-
Чтобы диагонализировать (17.80) и (17.81), вначале диагонали-зируем
отдельно матрицы V+ и V ; таким образом, мы получим в 2 раза больше, чем
нужно, собственных значений каждой матрицы. Чтобы найти собственные
значения матриц (17.80) и (17.81), надо
(17.78)
(17.79)
где 91* и SB* являются 2Л '-мерными матрицами, не обязательно
(17.80)
(17.81)
Поэтому
(17.82)
накова. Чтобы диагонализировать V, достаточно диагонализировать
Рл. 17. Решение Онсагера
решить, какие из собственных значений должны быть отброшены. Последний
шаг, однако, не является необходимым, ибо мы покажем, что при я->со
знания собственных значений V4 и V~ достаточно для определения
наибольшего собственного значения V. Система собственных значений V*.
однако, соответственно равна системе собственных значений V4. Поэтому мы
будем диагонализировать V+ и V- порознь и независимо.
Собственные значения матриц V4 и V~
Чтобы найти собственные значения V4 и V-, сначала найдем собственные
значения вращений, для которых V+ и V- являются спиновыми
представителями. Обозначим эти вращения, которые представляют собой 2я-
мерные матрицы, соответственно через Й+ и Й"
У± -*-*• Q±. (17.83)
Из (17.74) непосредственно получаем Я± - со (1, 2п | ± 2/ф) |j7 со (2а +
1, 2а | - 2"ф)j X
X |^П "(2?- Ы- 1 I - 2/0)] > (17.84)
где со (pv | а) = со (vp |-а) есть плоское вращение в плоскости pv на
угол а, которое определяется соотношением (17.53). Собственные значения
Й* совпадают с собственными значениями матриц
со± = ДЙ±Д-1, (17.85)
где Д - квадратный корень из последнего множителя в (17.84):
Д== J/^Д со(2?., 21 - 1 1 - 2/6) = Д со(21, 27.-1 1-/0). (17.86) Таким
образом,
со±=Дх± Д.
Д = со (12 | /0) со (34 | /0) ... со (2п - 1, 2"|/0), у/ = со (1, 2п | ±
2/ф) X
X [со (23 | 2/ф) со (45 | 2/ф) , . . со(2я-2, 2/1 - 1 | 2/ср)].
(17.87)
§ 3. Решение
В явном виде
О 0 .
О О .
LJ1 V - г sh 0 chO '
О О .
Щ
к!
к!
... о о
ГГЛ_ / ch 2<Р i sh 2ф\
¦- V - i sh 2q> сЬ2ф^'
a = ch 2ф, b = i sh 2ф.
Производя непосредственное умножение матриц Ах* А, находим
А В О О ... О + В*
