Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
В этом приближении энергия имеет вид
~ Е, (L) sw -^ eyZ.2 - BL. (16.28)
Эвристическое значение этого приближения очевидно, однако оценка
возникающей ошибки затруднительна.
С учетом (16.28) статистическая сумма (16.2) записывается в виде Q (B,T)=
2 eW'W'+Ji). (16.29)
iu)
Сумма здесь распространяется на все наборы {s(}, но суммируемое выражение
зависит только от L. Поэтому нам надо найти число наборов {s(},
соответствующих одному значению L. Согласно (16.24), L определяется
числом N+. Искомое же нами число есть число способов, которыми можно
выбрать Л7+ элементов из полного их числа N, а именно N\/N+\(N - N+)\.
Следовательно,
Q,(B, Т)= J j------------------------------------------(16.30)
При 77 -> со логарифм Q, равен логарифму наибольшего члена суммы.
Используя формулу Стирлинга для ЛП, находим
^lnQ,(B. 7') = р(1еуГг+в1)--Ц^1п-Ц^--Ц^1пЦ^-.
(16.31)
g 3. Приближение Брэгга-* Вильямса
371
где L есть то значение L, при котором суммируемое выражение в (16.30)
максимально. Нетрудно видеть, что L является корнем уравнения _
In у±-|-= + 2peyZ, (16.32)
которое можно также записать в виде
I==th {тг+тт)- (16-33)
Поэтому соотношение (16.31) может также быть переписано в форме
(16.34)
Рассмотрим случай, когда внешнее магнитное поле отсутствует (В- 0). При
этом вместо (16.33) получим уравнение
Z=th(^), (16.35)
которое может быть решено графически, как показано на фиг. 107. Главные
особенности решения таковы:
i==[ 0 (тг>1)-
I-ц
Во втором случае корень L= 0 должен быть отброшен, так как подстановка
его в (16.31) показывает, что он соответствует минимуму, а не максимуму.
Если е > 0, то существует критическая температура Тс, определяемая
равенством
кТе = уе. (16.36)
такая, что
_ ( 0 (Т > Т.),
H±Z, (roi (1637)
где L0 есть положительный корень уравнения (16.35). Поскольку L
есть намагниченность на одну частицу, отсюда непосредственно следует, что
при Т < Тс система является ферромагнетиком, в то время как при Т~>ТС
намагниченность равна нулю. Температура Тс есть температура Кюри системы.
Вырождение 1= ± L0 возникает из-за того, что в отсутствие внешнего
магнитного поля направления "вверх"
372
Гл. 16. Модель Изинга
и "вниз" физически неразличимы. Это вырождение не влияет на с бодную
энергию, которая является четной функцией L-f(L>
В общем случае L0 можно найти только в результате численных расчетов, но
вблизи 7 = 0 и вблизи Т = ТС справедливы приближенные выражения
io"l-2 e~2TdT
^________________________________ (16.38)
1о"-|Д(1-?) (° < 1 -¦^<l)-
График функции Ц показан на фиг. 108.
Ниже выписаны соответствующие термодинамические функции: (Т > Тс),
(Т < Тс),
(16.39)
(16.40)
(16.41)
ЖС<(°- Т>
+ -=2г (Т < Тс).
§ 3. Приближение Брэгга - Вильямса
Используя (16.38), получаем
Nk
С,(0. 7^ = 1
(16.43)
График функции Су представлен на фиг. 109. Выше критической температуры
удельная теплоемкость равна нулю. Это обусловлено тем, что в этой области
в рассматриваемом приближении корреляции как в дальнем, так и в ближнем
порядке исчезают.
Фиг. 108. Спонтанная намагниченность в приближении Брэгга-Виль-
Обратимся теперь к решеточному газу. Уравнение состояния решеточного газа
в приближении Брэгга - Вильямса может быть непосредственно получено с
помощью таблицы, приведенной в § 2:
. . V 1 (16.44)
± = -1(1+Г);
В = ^- - Ц- lnz, (16.45)
a L есть функция В и Г, которую можно найти, решая
уравнение (16.33). Чтобы получить Р0 как функцию Гиг),
необходимо
исключить В из (16.44). Явное решение для модели Изинга в отсутствие
внешнего поля (В = 0) соответствует только ограниченной области на Р -
г)-диаграмме.
Для В = 0 имеем
< п (Г > г.),
с (16.46)
374
Гл. 16. Модель Изинга
где Тс - V?o/4, а величина L0, зависящая только от температуры
представляет собой отличный от нуля корень уравнения
= (16.47)
Если L0 ф 0 является решением этого уравнения, то решением является также
и -L0. Таким образом, задание температуры определяет два
Фиг, 110. Уравнения состояния решеточного газа в приближении Брэгга -
Вильямса.
значения V, но только одно значение Ра (поскольку Ра является четной
функцией Lq). Не вдаваясь в подробности, представим результаты на Р - ^-
диаграмме фиг, 110. Сплошная кривая соответствует тем точкам на
поверхности уравнения состояния, для которых В = 0. Через 7\ обозначены
две точки, лежащие на одной изотерме, для которой 7\ < Те, а точка Т2
лежит на изотерме, для которой 72 > Тс. Следовательно, при 5 = 0 можно
получить только по две точки на каждой изотерме для Т < Тс и по одной
точке на изотермах для Т > Тс. Чтобы найти полную изотерму, необходимо
рассмотреть случай ВфО. При этом получаются изотермы, изображенные
штриховыми кривыми. В приближении Брэгга - Вильямса область перехода
оказывается пустой *). Это показывает, что приближение Брэгга - Вильямса
не является удовлетворительным. Однако и в рамках этого приближения можно
видеть, что решеточный газ претерпевает фазовый переход первого рода и
что Тс является критической температу-
