Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
184
Глава 3
ние в форме уравнений Гамильтона, причем роль "времени" играет номер
итерации п 1). Это можно сделать, вводя в (3.1.17а) периодическую дельта-
функцию:
со оо
8i(n)= 2 8(п-т)~ 1+22 c°s2nqti, (3.1.33)
т=-~оо q= 1
где последнее выражение есть разложение Фурье. Тогда (3.1.17) принимает
вид
4L = e/(6)61(n), (3.1.34а)
dn
- =2na(J), (3.1.346)
dn
где J (п), 0 (п) - значения величин Jn, 0" как раз перед моментом
"времени" п. Уравнения (3.1.34) имеют гамильтонову форму и соответствуют
гамильтониану
H(J, 0, п) = 2п j* a (J) dJ - eSi (п) \f(Q)dQ. (3.1.35)
Отметим, что гамильтониан Н этой системы с одной степенью сво-
боды явно зависит от времени 2). Описанный метод легко обобщается и на
случай явного отображения поворота с N степенями свободы. Мы используем
гамильтониан (3.1.35) для отображения Улама в § 3.4.
*§ 3.2. Типичное поведение канонических отображений
Рассмотрим общее поведение системы связанных нелинейных осцилляторов и
структуру их фазового пространства. Основным результатом здесь является
теорема КАМ, гарантирующая существование инвариантных торов для систем
как с двумя, так и с большим числом степеней свободы. Однако некоторые
следствия теоремы КАМ существенно различаются для этих двух случаев. Так,
диффузия Арнольда возможна лишь в последнем случае. Мы отложим обсуждение
этого вопроса до гл. 6. Здесь же для иллюстрации теоремы КАМ и
характерной структуры фазового пространства мы ограничимся рассмотрением
двумерных (сохраняющих площадь) отображений с некоторыми естественными
обобщениями на случай большего числа степеней свободы.
J) При этом считается, что п изменяется непрерывно. Напомним также, что
"время" п не совпадает с физическим временем t (dn/dt да (0дг/2я), причем
зависимость t (п) может быть очень сложной, так как со дг = aN(J i). a Jt
- может изменяться хаотически.- Прим. ред.
2) И конечно, совершенно не похож на исходный физический гамильтониан
Н с двумя степенями свободы. Тем не менее траектории обеих систем
совпадают для целочисленных моментов "времени" п. Однако для привязки к
физическому времени t необходимо знать зависимость (о2 (Jг) да оз2 (J 1,
72 (Яо, J^), или исходный гамильтониан Я0 (7г, 72)-- Прим. ред.
Отображения и линейная устойчивость
185
* 3.2а. Иррациональные числа вращения и теория КАМ
С учетом возмущения гамильтониан системы зависит от угловых переменных
(3.1.12) и, как мы видели в гл. 2, резонансы между степенями свободы
могут нарушить сходимость рядов теории возмущений. Тем не менее можно
доказать теорему (теорема КАМ), согласно которой при выполнении
определенных (перечисленных ниже) условий существуют инвариантные торы
У = Л-Ь(r)(1, е), (3.2.1а)
0 = !+"(!, е). (3.2.16)
Здесь и и v периодичны по \ и равны нулю при е = 0, а вектор |
связан с невозмущенными частотами х) на торе соотношением
| = (о. Условия применимости теоремы КАМ следующие:
1) частоты должны быть линейно независимы в некоторой области J (условие
нелинейности невозмущенных колебаний д)
? т;С0; (,/)==? 0, (3.2.2)
1
где со* - компоненты вектора to - dHJdJ, а пц - компоненты целочисленного
вектора tn\
2) возмущение должно иметь достаточно большое число непрерывных
производных (условие гладкости возмущения);
3) система должна находиться достаточно далеко от всех резонансов, так
что
| т & | > у! т | ~х (3.2.3)
для всех т. Здесь т зависит от числа степеней свободы и гладкости
возмущения Нъ а у зависит от величины возмущения гНj и нелинейности G
невозмущенного гамильтониана Н0. Поскольку неравенство (3.2.3) не может
выполняться при слишком большом значении у, которое растет с | еН1 | и
1/G, инвариантные торы существуют лишь при достаточно малой величине
возмущения. Из условий 1 и 3 следует также и условие умеренной
нелинейности 3). Если условия теоремы выполнены, то, например, окружности
отображения поворота слегка деформируются под действием возмущения, не
изменяя топологии, как это показано для сечения инвариантного тора на
рис. 3.2, а.
Лучше было бы сказать средними частотами, поскольку успех теории КАМ
связан прежде всего с фиксацией средних частот, а не начальных условий,
как это обычно делается (см. примечание редактора на с. 168). Именно для
этих фиксированных частот и справедливы условия (3.2.2) и (3,2.3),
приведенные ниже.- Прим. ред.
2) Это последнее условие имеет вид: det (d(Oi/dJP) ф 0 [см. (3.2.10)];
условие же (3.2.2) следует из (3.2.3).- Прим. ред.
3) См. (3.2.36).- Прим. перев.
186
Глава 3
Эта теорема была доказана Арнольдом [10] для аналитического возмущения Нг
на основе работы Колмогорова [229] и Мозером [308] при условии
существования достаточно большого числа не-
Инбариантная
4^ШнГт 4v^2ШТ^т
Щь\\\_______________у у________Лу2_______У- у,______________
0 1/4 1/3 1/2 2/3 3/4 1 pig
5 Дш,/Шг
Рис. 3.2. К теории КАМ.
а - в нелинейной системе возмущенная инвариантная кривая лежит вблизи
нсвозму-щенной (окружность); б - целые резонансы; в - дробные резонансы
