Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
описывается N угловыми переменными. Топологически эта поверхность
является N-мерным тором, т. е. по аналогии с рис. 3.1,а N фазовых
переменных взаимно ортогональны и определены по модулю 2л, а положение
поверхности задается переменными действия.
Важным следствием этих представлений является то, что в произвольных
канонических переменных
p=p(J, 0), q = q(J, 0) (3.1.4)
движение интегрируемой системы можно записать в виде
p(t)=2pm(J)ei(m ai+m li) , (3.1.5а)
т
q(t)=2>qm(J)e{{m-<0i+m rj) , (3.1.56)
где т - целочисленный, а р - постоянный А/-мерные векторы. Уравнения
(3.1.5) следуют из фурье-разложения по угловым переменным и в общем
случае описывают квазипериодические колебания р и q.
Для получения периодического решения положим х)
т- о> = 0. (3.1.6)
Так как вектор т. имеет целочисленные компоненты, то отношение частот Wj
является рациональным числом, т .е. со г = ",-ю0> ГДО де-
В Имеется в виду, что N - 2.- Прим. ред.
Отображения и линейная устойчивость
179
лые числа ",- не имеют общего множителя. Траектория замыкается через
период
где tit - число оборотов по i'-й степени свободы с частотой со,-.
Отображение поворота. При изучении фазовых траекторий, особенно в случае
двух степеней свободы, удобно использовать метод сечения Пуанкаре,
подробно описанный в п. 1.26. Для гамильтониана (3.1.1) в качестве
поверхности сечения можно выбрать либо плоскость (Уь 0^ (0., = const),
либо плоскость (У,, 02) (0Х= const). В первом случае последовательные
пересечения с плоскостью (У1; 0Х) отделены друг от друга интервалом
времени At = 2я/со2, причем Jx = const (см. рис. 3.1, а). За это время 0t
увеличивается на co1At = 2яа (УД где а - число вращения. Так как У2 ¦= =
У 2 (Уц В), то при заданном Е величину а можно считать функцией только
Ух. Опуская для упрощения записи индекс 1, получаем уравнения,
описывающие переход от "-го к (" - 1)-му пересечению:
где для дальнейшего мы записали а как функцию Jn+1, а не У". Отображение
(3.1.8) называется отображением поворота1). При таком отображении
окружности переходят в себя, но число вращения зависит, вообще говоря, от
радиуса окружности. При иррациональном а любая траектория равномерно
заполняет окружность при п -оо. При рациональном а - r/s, где г и s -
взаимно простые числа, получаются периодические траектории с периодом s
итераций. Две такие траектории с s = 6 показаны на рис. 3.1, б.
Отображение поворота не обязательно записывать в переменных действие -
угол. Например, уравнения
где ip - параметр, определяют линейное отображение поворота. Возмущение
этого отображения будет описано в п. 3.2г.
Как отмечалось в п. 1.26, двумерное отображение поворота должно сохранять
площадь:
(3.1,8а) (3.1.86)
Xn+1 -¦ хп соэф- уп sinip, Уп+1 = хп sin ф -f уп cos ф,
(3.1.9а)
(3.1.96)
(3.1.10)
Аналогичное соотношение выполняется и для (3.1.9).
*) В оригинале -twist mapping (закручивающее отображение).- Прим. перев.
180
Глава 3
Эти результаты обобщаются и на интегрируемые системы с N степенями
свободы (Н = const). Выбирая, скажем, QN - const в качестве поверхности
сечения, получаем отображение поворота для N-1 оставшихся пар переменных
действие - угол:
Л+1 = Л, (3.1.11а)
0n+i = 0П -j- 2зха (Уп+1), (3.1.116)
где аг = <x>i/coN - число вращения для г'-й пары. Условия на скобки
Пуассона, эквивалентные сохранению площади двумерного отображения,
очевидно выполняются.
* 3.16. Системы, близкие к интегрируемым
Отображения, сохраняющие площадь. Рассмотрим малое возмущение
интегрируемой системы с двумя степенями свободы. При этом гамильтониан
зависит от угловых переменных
H(J, 0) = Яо(У) + еЯ1(У, 0). (3.1.12)
На поверхности сечения 02 = const (mod 2л) отображение поворота (3.1.8)
перейдет теперь в возмущенное отображение поворота
J n+i = J п-{-&f (J п+1) 0л)> (3.1.13а)
0л+1 = 0л + 2я<х (/n+i) -f- eg {Jп+ъ 0л)I (3.1.136)
где / и g - периодические функции 0. Так как это отображение получается
из гамильтоновых уравнений, оно должно сохранять площадь. Мы выбрали
функции fug зависящими от Jn+1, а не от Jn, так что сохранение площади
принимает особенно простую форму. В самом деле, соотношения (3.1.13)
можно получить из производящей функции
Pi - Jn+l^n + 2л"я? (Jл+х) + ^ (JП+Ъ 0")> (0-1 • 14)
причем
a - ds?ldJn+1, (3.1.15а)
/=_д^/д0", (3.1.156)
g - d&ldJn+i, (3.1.15b)
откуда
~~-+ = °' (ЗЛЛ6)
dJri+i
и площадь сохраняется. Метод преобразований Ли ([108], см. также § 2.5)
позволяет получить отображения, в которых Jn+1 и 0"+1 явно выражаются
через /" и 0". Однако они неудобны для наших целей.
Если / зависит от /"+1, то Jn+1 зависит от Jп неявно [см. (3.1.13а)].
Численно величину Jn+1 легко найти, используя метод
Отображения и линейная устойчивость
181
касательных Ньютона или метод последовательных приближений, в котором
новое приближение •/"+! находится путем подстановки
сходимость (см. § 2.6) 1).
Во многих интересных случаях / не зависит от J и g ~ 0. Тогда
(3.1.13) принимают вид явного отображения поворота 2):
