Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
t = §, N = tx i3,
N • Тх = - (t х i3) • (i3 X VVH x I,) = t • (WU x is)
§5] ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НЕСЖИМАЕМОГО МАТЕРИАЛА 271
и главный вектор Р сил, распределенных на дуге кривой Г, оказывается
равным
сЛ a'flr Xil оЛ
Р= J tds (VV?/ X i3) = 5 c/B-VV?/xi3= $ dXU x i,=VC/x ia | ,
ojfiss qMb G^o
так как dB* WU~ dVU. Главный момент этого распределения сил определяется
теперь выражением
оМ оАЬ
ш°= 5 В х (d\U X i3) == - i3 S В -dVU
оМъ G$0
и главный момент Ш °z относительно оси OZ оказывается равным
оЖ оМ оМ оМ
m°z=- $ B-dVU = - J d(B-VH)+ J dB-VU = (U-B-VU) | .
Q/fifS Q/fif 0 G/$0
Итак, с точностью до аддитивных слагаемых
P = \Uxi3, m°z = U - B-\U. (29)
Для любого плоского тензора Мх имеем /l(i,xMxXi3) = -/1(MX).
Обратившись теперь к (28) и (24), получим для несжимаемой среды
ушу = I, (Тх) = - 2р + 2 ^ /!, р = - j ( V*t/ -27" . (30)
Тензор Тх теперь можно представить выражением
TX=1e2(v2U-~2/"-^) + 2^-Fx. (31)
Отметив еще, что i3xE2xi3 =- Е2, можно придать формуле (28) вид
VVU = 4 Е2 (V*U -2 /") - 2 -g- i3 X Fx X i3. (32)
В компонентном представлении
Wt/ = B"BpVaVpt;, Е2 = В"Вр5ар, Fx = &v6BvB6,
- i3 х Fx х i3 = b*% X i3B6 X i3 = bv6eyae6pB"B .
В последнем выражении по (3)
bv6 = bv- be = ev|Xeev (Ьц X i.) • (bv x i3) = eHMV,
272
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
так что
b^6 ?7йебр = frnvevli?vae6ve6|3 = 4- &m>evM,e7ae6ve6p
и теперь
isxF*xi, = bv&evae6fiBaBP = 4- Ь"вВ"ВР;
наконец, по (12) в несжимаемой среде 5/'ft = c~2. Компонентному
представлению соотношения (32) придается вид
vevpi/2П^Р) яаВ+2-з?ь*ветвевр =
2 V dh) ~"р 1 " dh
= ±(W_2/°4^)^0 + 2c-24^ap. (33)
6. За независимые переменные в системе трех дифференциальных уравнений
(33) принимаются x1 = q1, x2 = g2. Искомыми функциями в ней являются U и
координаты частицы в отсчетной конфигурации аа (х1, х2). Имеем здесь
"а . да(r) _
'дха
в" i", Ь*-дха- 'и,га'
I 1" а Р> , даV да^
\ 0, а=^|3, ^ дха дх*' В
- были использованы соотношения (10), 5=1 и условие несжимаемости. По (7)
II = ы1 + b(tm) = 1 (bu + fc22) = с-2 (ftu + fc22). (34)
Уравнения (33) приводятся к виду j/cW^d4/\ _2. . Щ>х _^L_oc-2^_a
/35)
Еще одно уравнение, выражающее условие несжимаемости, представляется
получаемым по (5) соотношением
й== дд\х\ *")"]2 = ~^2 = с*- (36)
Из выражения (27) тензора напряжений следуют хорошо известные формулы для
его компонент
J5] ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НЕСЖИМАЕМОГО МАТЕРИАЛА 273
позволяющие вместо (35) придать "комплексным напряжениям" Колосова -
Мусхелишвили вид
-(tm) +<*-¦ ШШ • <з8>
, d*U д9-и 0. д*и лдЮ 0 /om
Охг - Оц +21ХХ1Хг=- ------ - 2i^-Tr-" = i-lrr=8o-2 (39)
х ' дх1 дх22 дх1дх2 dz2 dlx dzdz ' v >
причем использованы формулы (8). Входящий в эти соотношения множитель,
определяемый заданием материала, представляет по (21) функцию инварианта
1Х. По (9) формуле (36) может быть придан еще вид
- (40)
dzdz dzdz v >
позволяющий представить 1\ формулой
'!(tm)2К!!+!1Н(^'!1+<-')- <41>
Следствием (39) служит дифференциальное уравнение
д2 daX д?____ д2 дэх d? d'Q ,.
gjz dlx dz dz ~~ dz2 dlx dzdz' ' '
которому должна удовлетворять любая возможная в данном материале плоская
деформация ? = ?(z, z, с) при наличии продольного растяжения с (и при
отсутствии массовых сил).
Представление (29) главного вектора сил, распределенных на дуге контура
Г, ограничивающего рассматриваемую область, приводится к виду
P = P1 + iPi = - 2^ (43)
dz
- это краевое условие при задании поверхностных сил.
За независимые переменные могут быть приняты координаты
а1, а2 отсчетной конфигурации, иначе говоря ?, ?. Из соотношений
dz _ , _ dzdt, . dzdt, dz_^_dzd? dzdt,
dz~~ ~ d?dz + dldz' ~fz~ ~ KTz df^z и условия несжимаемости (40) получаем
df^i.dS dz l_d? az___
d? с dz ' dt,~ c dz' d?~ c dz ' dt,~ с dz'
так что по (21)
"-2(2|| + т)- <")
274
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
1ГЛ. 7
Предположив теперь, что известно решение уравнения (42)
? = /(z, г, с), (45)
рассмотрим преобразование
z = t-/(?, f, с), (46)
причем / - та же самая функция, что и в (45). Тогда по (44)
го ' dsx
инвариант II, значит для того же материала и -jj- , окажется
представленным теми же функциями от ?, ?, с, какими он был представлен
через г, г, с в исходной деформации (45). Неизмен-ность формы выражения
позволяет проверить непосредственным (хотя и громоздким) вычислением, что
преобразование (46) удовлетворяет соотношению (42), если ему
удовлетворяет (45). Это -"обратная теорема" Адкинса (J. Е. Adkins, 1958),
позволяющая находить по плоской деформации, сопровождаемой
продольным растяжением с, другую плоскую деформацию при том же с, также
совместимую с условием (42).
Двойственность полей деформации и напряжения в плоской задаче.
Соотношения, аналогичные теореме Адкинса, выполняются при плоской
деформации сжимаемого материала
я1 -я1 (а1, а2), х1 - х"- (о1, а1), х^ - са3. (47)
В выражениях меры деформации Фингера и тензора напряжений плоские тензоры
отделяются от (ЗЗ)-компонент
F=FX + i3i3c2, T = Tx+i3i3F>3 (/'"3 = 0, /а3 = 0). (48)
